Question

Пожалуйста, прикрепите рисунок!!! Высота правильной четырехугольной призмы равна 18 см, а диагональ призмы образует с плоскостью ее основания угол 60 °. Найдите сторону основания призмы и угол, который диагональ призмы образует с ее боковой гранью.

Answer 1

Ответ:

$AD=\frac{18}{\sqrt{6}}$

∠$A_{1}DB_{1} = arcsin(\frac{\sqrt{2} }{4})$

Объяснение:

Призма ABCDA₁B₁C₁D₁, ∠B₁DB=60°, BB₁=18см. AD=? ∠A₁DB₁=?

1) Правильная четырехугольная призма => ABCD - квадрат, BB₁D - прямоугольный треугольник (∠DBB₁=90°)

ABCD - квадрат => В ΔABD ∠DAB=90° =>BD²=AD²+AB²

AD=AB=A₁B₁=x, BD=y, B₁D=z =>

$x^{2} +x^{2} =y^{2} => 2x^{2} =y^{2} => y=x\sqrt{5} => x=\frac{y}{\sqrt{2} } \\cosB_{1} DB=\frac{BD}{B_{1} D} =\frac{y}{z} => \frac{y}{z} =cos(60^{o} )=\frac{1}{2} => y=\frac{z}{2} \\sinB_{1} DB=\frac{BB_{1}}{B_{1} D} =\frac{18}{z} => \frac{18}{z} =sin(60^{o} )=\frac{\sqrt{3} }{2} => z=\frac{18*2}{\sqrt{3} } \\=>y=\frac{18*2}{2\sqrt{3} } =\frac{18}{\sqrt{3} }\\=> x=\frac{18}{\sqrt{3}*\sqrt{2}}=\frac{18}{\sqrt{6}}$

2) Угол между диагональю и гранью  - угол между диагональю и её проекцией на эту грань. A₁D - проекция диагонали B₁D на AA₁D₁D => нужно найти ∠A₁DB₁

Правильная четырехугольная призма =>A₁B₁ ⊥AA₁D₁D => В ΔA₁B₁D ∠B₁A₁D=90° =>

$sinA_{1} DB_{1} =\frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}D} =\frac{x}{z} =\frac{18}{\sqrt{6} * \frac{\sqrt{3} }{18*2} } =\frac{1}{2\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{4} => A_{1} DB_{1} =arcsin(\frac{\sqrt{2} }{4})$

Answer 2

Опишем ситуацию: у нас есть четырехугольная призма с высотой 18 см и углом между диагональю основания и плоскостью основания равным 60°. Пусть сторона основания призмы равна "а". Тогда диагональ призмы, образующая угол 60° с плоскостью основания, можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника. Другая сторона прямоугольного треугольника будет равна "а/2", так как это половина стороны основания. Мы можем применить теорему Пифагора к этому треугольнику: (а/2)^2 + (18)^2 = диагональ^2 Учитывая, что угол между диагональю и боковой гранью равен углу между диагональю и плоскостью основания, мы можем использовать тригонометрические соотношения. Пусть угол между диагональю и боковой гранью равен "х". Тогда тангенс этого угла можно записать как отношение противолежащего катета к прилежащему катету: тг(х) = (18 / (а/2)) Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем решить одновременно, чтобы найти значение "а" и "х". Прикрепленного рисунка, к сожалению, не предоставлено, но на основе описания проблемы и данной информации можно решить систему уравнений и получить ответ.