Question

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. НАЙТИ СТОРОНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

Answer 1

Точка пересечения BE и AD = K.

Треугольник BAD равнобедренный, потому что биссектриса угла B (то есть - BK) перпендикулярна основанию AD. 

AK = KD = 14;

Это означает, что AB = BD = BC/2.

Само собой, отсюда сразу же следует AE = EC/2, поскольку BE - биссектриса.

Если теперь провести через точку E прямую EF II AD, то DF = CF/2; (F лежит на BC)

Это означает, что DF = BD/3; следовательно, KE = BK/3;

Отсюда BK = 21; KE = 7; 

AB = √(14^2 + 21^2) = 7√13; BC = 14√13;

AE = √(7^2 + 14^2) = 7√5; AC = 21√5;

Answer 2

Из условия задачи следует, что в треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АД перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. В треугольнике, если биссектриса и медиана угла перпендикулярны и имеют одинаковую длину, это означает, что данный угол равен 30 или 60 градусов. В данном случае, мы имеем дело с углом В, так как биссектриса ВЕ и медиана АД перпендикулярны. Поэтому, угол В равен 30 градусов [Source 5](http://ru.solverbook.com/spravochnik/formuly-po-geometrii/treugolnik/bissektrisa-treugolnika/). Так как угол В равен 30 градусов, то угол С также равен 30 градусов (по свойству треугольника, сумма углов равна 180 градусов). Также, по свойству биссектрисы, отношение сторон ВА:АВ равно отношению ВВ:ВЕ. Поскольку биссектриса ВЕ и медиана АД перпендикулярны и имеют одинаковую длину, то отношение ВА:АВ равно отношению ВВ:ВЕ, то есть ВА:АВ = ВВ:ВЕ. Следовательно, если мы обозначим длину стороны ВА как a, то длина стороны АВ равна 2a (так как ВА:АВ = 1:2). Аналогично, длина стороны ВВ равна 2a, а длина стороны ВЕ равна 28 (по условию задачи). Также, по свойству медианы, отношение сторон ВА:ВС равно отношению ВВ:ВС. Поскольку биссектриса ВЕ и медиана АД перпендикулярны и имеют одинаковую длину, то отношение ВА:ВС равно отношению ВВ:ВС, то есть ВА:ВС = ВВ:ВС. Следовательно, если мы обозначим длину стороны ВС как b, то длина стороны ВВ равна 2b (так как ВА:ВС = 1:2). Аналогично, длина стороны ВА равна 2b, а длина стороны ВЕ равна 28 (по условию задачи). Из этих соотношений следует, что a = 2b. Подставив это в соотношение 2a = 2b, получаем a = b. Таким образом, все стороны треугольника равны, то есть это равнобедренный треугольник. Длина стороны равна 28 (длине биссектрисы ВЕ, которая также является медианой АД). Таким образом, стороны треугольника АВС равны 28.