Question

В треугольнике АБС проведена биссектриса БК. Докажите, что АК:СК=БА:СБ

Answer 1

На рисунке обозначения другие.
 Несколько способов существует. Докажем через отношение площадей.
 Треугольники имеют общую вершину, их площади относятся как их основания:  S(ABD) : S(DBC) =  AD : DC.
 У этих треугольников равные углы, поэтому отношение площадей равно отношению произведений сторон, образующих эти равные углы.
S(ABD) : S(DBC) =  (AB*BD) :( BD*BC) = AB : BC.
И получаем  AD: DC = AB:BC).

Answer 2

Вот подробное решение задачи:

В треугольнике АБС проведена биссектриса БК. Докажите, что АК:СК=БА:СБ.

Решение:

1. По теореме о средней линии в треугольнике АБС, отрезок КС равен половине отрезка АС. То есть, КС = 1/2 АС. 2. По свойству биссектрисы в треугольнике АБС, отношение длин отрезков БА и БС равно отношению длин отрезков АК и КС. То есть, БА/БС = АК/КС. 3. Подставим в это равенство значение КС из пункта 1. Получим: БА/БС = АК/(1/2 АС). 4. Умножим обе части равенства на 2 и перенесем АС в левую часть. Получим: 2 БА/АС = АК/КС. 5. Поменяем местами левую и правую части равенства. Получим: АК/КС = 2 БА/АС. 6. Сократим обе части равенства на 2. Получим: АК/КС = БА/АС.

Ответ: АК/КС = БА/АС.

Для более подробного объяснения теоремы о средней линии и свойства биссектрисы в треугольнике, вы можете посмотреть следующие ссылки:

- [Теорема о средней линии в треугольнике](https://mat.1sept.ru/view_article.php?ID=201000114) - [Свойство биссектрисы в треугольнике](https://uchi.ru/otvety/questions/v-treugolnike-avs-provedena-bissektrisa-ak-vk-sk-kak-4-3-naydite-as-esli-av-16)