Question

у прямокутний трикутник з кутом 30° вписано коло, яке дотикається до сторін трикутника в точках м, р,e. знайдіть кути трикутника(з доведеням)​

Answer 1

Ответ:

45   60   75

Объяснение:

пусть треугольник МРЕ назовем внутренним, остальные з треугольника- внешними. Каждый из внешних треугольников является равнобедренным с известным углом при вершине, соответственно 90, 60 и 30 градусов. Найдем у этих треугольников углы при основании

(180-30):2=75

(180-60):6075

(180-90):2=45, тогда можно найти каждый угол внутреннего треугольника

180-(75+60)=45

180-(75+45)=60

180-(45+60)=75

Answer 2

Позначимо сторони прямокутного трикутника як a, b і c, де a і b - катети, а c - гіпотенуза. Кут між сторонами a і b дорівнює 90 градусів, оскільки трикутник є прямокутним. Оскільки коло дотикається до сторін трикутника в точках m, r і e, то відповідні відрізки, що з'єднують ці точки з центром кола, будуть перпендикулярні до сторін трикутника. Нехай O - центр кола. Таким чином, отримуємо, що мO ⊥ a, rO ⊥ b і eO ⊥ c. Так як mO ⊥ a і rO ⊥ b, то mO і rO є висотами відповідних прямокутних трикутників. Розглянемо прямокутний трикутник Omr. За властивістю кола, відстані від центра кола до точок дотику дорівнюють радіусу кола. Тому mO = rO = r, де r - радіус кола. Оскільки Omr - прямокутний трикутник, то r - радіус кола, яке вписано у прямокутний трикутник Zar, є його висотою. Отже, довжина сторони Zar може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора: Zar = √(a^2 + b^2). Тепер розглянемо прямокутний трикутник Oer. Оскільки eO ⊥ c, то eO є висотою прямокутного трикутника Oer. Отже, довжини сторін Oe і re можуть бути знайдені за допомогою подібності трикутників: Oe / r = c / Zar, або Oe = (c * r) / Zar. re = Oe + r = (c * r + r * Zar) / Zar. Тепер ми знаємо довжини сторін Oe і re. Позначимо кути трикутника Oer через α і β, де α - кут eOr, β - кут erO. Застосуємо тригонометрію в трикутнику Oer: cos α = re / c = ((c * r + r * Zar) / Zar) / c = (r + r * Zar / c) / Zar, cos β = Oe / c = ((c * r) / Zar) / c = r / Zar. Звідси нам відомо значення cos α і cos β. За допомогою обернених тригонометричних функцій, можна знайти значення кутів α і β.