Question

Точка К – середина медіани АМ трикутника АВС. Пряма ВК перетинає сторону АС у точці D. Доведіть, що АС= 3AD.​

Answer 1

Відповідь: доведення.

Пояснення:

теорема Фалеса.

Answer 2

Так как AM - медиана, то BM = MС. Точка К – середина медианы АМ, значит AK = KM.

По теореме Менелая

CD/DA * AK/KM * MB/BC = 1

CD/DA * 1/2 = 1

CD = 2DA

Но CD = AC - DA, тогда имеем

AC - DA = 2DA

AC = 3DA

Answer 3

Для доведення даного твердження скористаємось властивостями серединного перпендикуляра і серединної лінії трикутника. Розглянемо відрізки АМ і КС. Оскільки точка К - середина медіани АМ, то АК = КМ. Так само, оскільки точка К - середина відрізка ВС, то ВК = КС. Побудуємо перпендикуляр від точки К до сторони АС і позначимо точку перетину цього перпендикуляра зі стороною АС як Е. За властивістю серединного перпендикуляра, КМ = ЕМ і КЕ = АЕ. Також, за властивостю серединної лінії трикутника, ЕС = СМ. Отже, АК + КЕ = КМ + АЕ = АМ = 2АК (так як К - середина медіани АМ) і ВК + КЕ = КС + ЕС = ВС = 2КС (так як К - середина відрізка ВС). З цього випливає, що 2АК = 2КС, або АК = КС. Але ми вже знаємо, що АК = КМ, тому КМ = КС. Розглянемо трикутник КЕС. Оскільки КМ = КС, то цей трикутник є рівнобедреним. З цього випливає, що ЕК = ES. Позначимо довжину відрізка ЕК як х. Оскільки ЕК = ES, то довжина відрізка ЕС також дорівнює х. Тепер звернемося до трикутника АЕС. Оскільки КЕ = КС = х, то АС = АК + КС = АК + КЕ = АЕ = 2х. Таким чином, АС = 3х. Але ми також знаємо, що АК = КМ = АМ/2 = АС/4 (так як К - середина медіани АМ). Оскільки АС = 3х, то АК = 3х/4. Порівнюючи цей результат з виразом 3ad, бачимо, що ми отримали, що АК = 3х/4 = 3ad. Отже, доведено, що АС = 3ad.