Question

В треугольнике ABC точка M делит сторону BA в отношении 1:4, а точка N делит сторону BC в отношении 5:7. Найти отношение площади 4-угольника AMNC к площади треугольника MBN

Answer 1

Ответ: 11:1

Объяснение:

Во первых считаем, что указанные отношение нужно считать с вершины В.

То есть

ВМ:MА=1:4 => BM:BA=1:5   BN:NC=5:7 => BN:BC=5:12

=> S(ΔMBN)=S(ΔABC)*(BM/BA)*(BN/BC)=S(ΔABC)*(1*5)/(5*12)=S(ΔABC)*1/12

=>S(AMNC)=S(ΔABC)-S(ΔMBN)=S(ΔABC)(1-1/12)=S(ΔABC)*(11/12)

$= > \frac{S(AMNC)}{S(MBN)} = \frac{S(ABC)*11*12}{S(ABC)*1*12} =11$

Answer 2

Ответ:

11  :  1   ..................................

Объяснение:

Answer 3

Чтобы найти отношение площади 4-угольника AMNC к площади треугольника MBN, нужно найти соотношение высот этих фигур, опущенных на одну из сторон треугольника ABC.

Пусть h1 и h2 - высоты треугольников ABC и MBN соответственно.

Так как точка M делит сторону BA в отношении 1:4, то площади треугольников ABM и AMC относятся как 1:4. А значит, h1 (высота треугольника ABC) распределена между h(MBN) и h(AMC) также как 1:4.

Пусть h(MBN) = x, тогда h(AMC) = 4x.

Аналогичным образом, так как точка N делит сторону BC в отношении 5:7, площади треугольников BCN и BAN относятся как 5:7. А это значит, что h2 (высота треугольника MBN) распределена между h(BAN) и h(BCN) также как 5:7.

Пусть h(BAN) = y, тогда h(BCN) = 7y.

Теперь мы можем написать равенства:

h1 = x + 4x
h2 = 5y + 7y

Или просто:

h1 = 5x
h2 = 12y

Так как площади треугольников пропорциональны высотам, отношение площади 4-угольника AMNC к площади треугольника MBN будет равно отношению их высот:

Площадь(AMNC) / Площадь(MBN) = h1 / h2 = 5x / 12y

Таким образом, отношение площади 4-угольника AMNC к площади треугольника MBN равно 5x / 12y.