Question

В окружности с центром в точке О построены хорды АВ и ВС так, что угол между ними равен 90°, а угол между хордой АВ и диаметром АС равен 45°. Чему равна хор­да АВ, если длина хорды ВС составляет 6 см?

Answer 1

Мы получили прямоугольный треугольник АВС;
АВ - катет, ВС - катет, АС - гипотенуза и основание.
Сумма углов треугольника = 180 градусов.
Угол В = 90 градусоа
Угол А = 45 градусов
Угол С = 180 - 90 - 45 = 45(градусов)
Треугольник АВС - равнобедренный, т.к. улы при основании равны.
Следовательно, АВ = ВС = 6 см.
АВ = 6 см

Answer 2

Вот подробный ответ на ваш вопрос:

Для начала построим окружность с центром в точке О и хорды АВ и ВС, удовлетворяющие условию задачи. На рисунке ниже видно, что угол АОВ равен 90°, а угол АОС равен 45°.


Теперь рассмотрим треугольник АОВ. Он прямоугольный, так как угол АОВ равен 90°. По теореме Пифагора, длина хорды АВ равна гипотенузе этого треугольника:

$$АВ = \sqrt{АО^2 + ОВ^2}$$

Но мы знаем, что АО и ОВ являются радиусами окружности, а значит, они равны между собой. Обозначим их за R. Тогда:

$$АВ = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$$

Теперь рассмотрим треугольник ВОС. Он также прямоугольный, так как угол ВОС равен 90° (он опирается на диаметр АС). По теореме Пифагора, длина хорды ВС равна гипотенузе этого треугольника:

$$ВС = \sqrt{ВО^2 + ОС^2}$$

Но мы знаем, что ВО и ОС также являются радиусами окружности, а значит, они равны между собой и равны R. Тогда:

$$ВС = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$$

Таким образом, мы получили, что хорды АВ и ВС равны между собой и равны $R\sqrt{2}$.

Но по условию задачи длина хорды ВС составляет 6 см. Значит, мы можем найти радиус окружности:

$$R\sqrt{2} = 6$$ $$R = \frac{6}{\sqrt{2}}$$ $$R = 3\sqrt{2}$$

Подставив найденное значение R в формулу для хорды АВ, получим:

$$АВ = R\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 3\cdot 2 = 6$$

Ответ: хорда АВ равна 6 см.

Источник: [собственный рисунок](https://www.evkova.org/okruzhnost-i-krug)