Question

В рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута, одна з основ на 6 см більша за іншу. Знайти середню лінію трапеції, якщо її периметр дорівнює 74 см.

Answer 1

Пусть меньшая сторона основания равна х см, тогда большая сторона основания равна (x+6) см.

Поскольку AC - биссектриса острого угла BAD, то ∠BAC = ∠CAD.

∠CAD = ∠ACB как накрест лежащие углы при AD ║ BC и секущей AC отсюда ΔABC равнобедренный, AB = BC = x см. Зная, что периметр трапеции по условию равен 74 см, составим уравнение

x + x + x + (x + 6) = 74

4x = 68

x = 17 см - основание BC

17 + 6 = 23 см - основание AD

По свойству средней линии трапеции, имеем

$MN=\dfrac{AD+BC}{2}=\dfrac{17+23}{2}=20$ см

Ответ: 20 см.

Answer 2

Назвемо основи трапеції АВ і СD, причому АВ є більшою основою. За умовою, АВ = СD + 6.

Оскільки діагональ трапеції є бісектрисою гострого кута, то знаходимо протилежні сторони трапеції, які межують з діагоналлю. Нехай Е і F - точки перетину діагоналі зі сторонами АВ і CD відповідно.

Тоді АЕ = VF і ВЕ = DF.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику АВЕ, маємо:
(АE)^2 + (BE)^2 = (AB)^2.

Аналогічно, в прямокутному трикутнику СDF:
(CD)^2 + (DF)^2 = (CF)^2.

За теоремою Піфагора в рівнобедреному трикутнику ЕFС, маємо:
(CF)^2 = (EF)^2 + (EC)^2.

Враховуючи, що AC = BD (оскільки діагональ є бісектрисою гострого кута), маємо:

(AE)^2 + (BE)^2 = (CD)^2 + (DF)^2
(AE)^2 + (BE)^2 = (AE - 6)^2 + (EC)^2

Підставляючи АВ = CD + 6 , маємо:

(AE)^2 + (BE)^2 = (AE - 6)^2 + ((AE - 6)/2)^2.

Розгортаємо це рівняння:

AE^2 + BE^2 = AE^2 - 12AE + 36 + (AE^2 - 12AE + 36)/4.

AE^2 + BE^2 = 5AE^2/4 - 15AE/2 + 9.

Переносимо все в ліву сторону і спрощуємо:

AE^2/4 - 9AE/2 + BE^2 = 9.

Далі, з рівності периметру трапеції, маємо:

74 = AE + BE + CD + AB.

Підставляємо АВ = CD + 6:

74 = AE + BE + CD + CD + 6.

74 = AE + BE + 2CD + 6.

AE + BE = 74 - 2CD - 6.
AE + BE = 68 - 2CD.

Підставляємо вираз AE + BE в рівняння AE^2/4 - 9AE/2 + BE^2 = 9:

AE^2/4 - 9AE/2 + (68 - 2CD)^2 = 9.

Еквівалентно:

AE^2/4 - 9AE/2 + 4624 - 272CD + 4CD^2 = 9.

AE^2/4 - 9AE/2 + 4557 - 272CD + 4CD^2 = 0.

Маємо квадратне рівняння відносно АЕ, яке можна розв'язати за допомогою квадратного кореня.

Отримане рівняння має два корені, які є значеннями сторін ЕА і ЕВ.

Після знаходження ЕА і ЕВ, середню лінію трапеції можна знайти за формулою:

М = (АB + CD)/2 = (AE + BE + CD + CD)/2 = (AE + BE + 2CD)/2.

Отримана середня лінія М є відповіддю на поставлене питання.