Question

ПОМОГИТЕ!!! ДАЮ 30 БАЛЛОВ!!! Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Докажите, что круги, построенные на боковых сторонах как на диаметрах, касаются внешним образом.

Answer 1

Расстояние между центрами равно средней линии , то есть полусумме оснований , но сумма оснований равна сумме боковых сторон ( в трапецию можно вписать окружность)⇒ расстояние между центрами равно полусумме боковых сторон , а она равна сумме радиусов окружностей ⇒ расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов ⇒ окружности касаются внешним образом

Answer 2

Для доказательства того, что круги, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, касаются внешним образом, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами трапеции и окружностей.

Давайте обозначим следующие элементы:

1. Пусть ABCD - это трапеция, где AB и CD - параллельные основания, а BC и AD - боковые стороны.

2. Пусть E и F - это центры окружностей, построенных на боковых сторонах BC и AD соответственно, таким образом, что отрезки BE и AF являются их радиусами.

3. Пусть O - это центр окружности, вписанной в трапецию ABCD.

Мы хотим доказать, что круги с центрами E и F касаются внешним образом. Для этого рассмотрим следующие факты:

1. Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается всех четырех ее сторон. Это означает, что точки касания лежат на отрезках AB, BC, CD и DA. Пусть точка касания на стороне BC обозначается как P.

2. Так как круг, построенный на стороне BC, имеет диаметр BE, то его радиус равен половине длины стороны BC. Поэтому BE = BP.

3. Аналогично, круг, построенный на стороне AD, имеет диаметр AF, и его радиус равен половине длины стороны AD. Поэтому AF = AP.

4. Так как круги с центрами E и F касаются сторон BC и AD соответственно в точках P и P, и радиусы этих кругов равны BP и AP, то эти круги также касаются внешним образом в точке P.

Таким образом, мы доказали, что круги, построенные на боковых сторонах трапеции ABCD как на диаметрах, касаются внешним образом в точке P.