Question

Дано трикутник АВС, А(0:2), В(4; -2), С(-2; -4). Знайти (бажано двома способами): АМ, якщо М- середина АВ АŇ, якщо - середина ВС Середню лінію М.

Answer 1

Ответ:

Шановний викладачу/викладачко,

Для того, щоб знайти АМ (перший спосіб), можна скористатися формулою середньої точки між двома координатами. Координати точки М можна знайти, обчисливши середнє арифметичне координат точок А і В. А fомула для розрахунку середньої точки (х, у) між двома точками (х₁, у₁) і (х₂, у₂) виконується наступним чином:

х = (х₁ + х₂) / 2,

у = (у₁ + у₂) / 2.

Застосуємо цю формулу до точок А(0, 2) і В(4, -2):

х = (0 + 4) / 2 = 2,

у = (2 + (-2)) / 2 = 0.

Отже, координати точки М дорівнюють (2, 0). За визначенням, АМ представляє собою відрізок, що з'єднує точки А та М, отже, для його знаходження можна скористатися формулою відстані між двома точками в декартовій системі:

АМ = √((х₂ - х₁)² + (у₂ - у₁)²),

де (х₁, у₁) - координати точки А, (х₂, у₂) - координати точки М.

Замість (х₁, у₁) підставимо координати точки А (0, 2), а замість (х₂, у₂) - координати точки М (2, 0):

АМ = √((2 - 0)² + (0 - 2)²) = √(2² + (-2)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2.

Отже, довжина відрізка АМ дорівнює 2√2.

Другий спосіб розрахунку довжини відрізка АМ полягає у використанні теореми Піфагора для прямокутного трикутника АМВ. Враховуючи, що координати точок А та М дорівнюють відповідно (0, 2) та (2, 0), можна побудувати прямокутний трикутник зі сторонами, що проходять через ці точки. Використовуючи теорему Піфагора, можемо обчислити довжину сторони АМ:

АМ² = АВ² + ВМ²,

де АВ - довжина сторони трикутника АВ, яку можна обчислити з використанням формули відстані між двома точками:

АВ = √((х₂ - х₁)² + (у₂ - у₁)²),

де (х₁, у₁) - координати точки А, (х₂, у₂) - координати точки В.

Підставивши відповідні значення координат, отримаємо:

АВ = √((4 - 0)² + (-2 - 2)²) = √(4² + (-4)²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2.

Крім того, ВМ є половиною сторони ВС, яка має довжину, що обчислюється за формулою:

ВС = √((х₂ - х₁)² + (у₂ - у₁)²),

де (х₁, у₁) - координати точки В, (х₂, у₂) - координати точки С.

Підставивши значення координат, отримаємо:

ВС = √((-2 - 4)² + (-4 - (-2))²) = √((-6)² + (-2)²) = √(36 + 4) = √40 = 2√10.

Враховуючи це, ВМ дорівнює половині довжини ВС, тобто:

ВМ = (1/2) * ВС = (1/2) * 2√10 = √10.

Тепер, використовуючи теорему Піфагора, можемо обчислити АМ:

АМ² = АВ² + ВМ² = (4√2)² + (√10)² = 16 * 2 + 10 = 32 + 10 = 42.

Значить, АМ = √42.

Таким чином, довжина відрізка АМ дорівнює √42.

Для пошуку середньої лінії АŅ потрібно знайти середину відрізка ВС. Аналогічно до першого способу, можемо використати формулу для знаходження середньої точки між двома координатами:

х = (х₁ + х₂) / 2,

у = (у₁ + у₂) / 2.

Застосуємо цю формулу до точок В(4, -2) і С(-2, -4):

х = (4 + (-2)) / 2 = 1,

у = (-2 + (-4)) / 2 = -3.

Таким чином, координати середини відрізка ВС дорівнюють (1, -3).

Отже, середня лінія АŅ є лінія, що з'єднує точки А та середину відрізка ВС. Її довжину можна обчислити за допомогою формули відстані між двома точками:

АŅ = √((х₂ - х₁)² + (у₂ - у₁)²),

де (х₁, у₁) - координати точки А, (х₂, у₂) - координати середини відрізка ВС.

Підставивши відповідні значення, отримаємо:

АŅ = √((1 - 0)² + (-3 - 2)²) = √(1² + (-5)²) = √(1 + 25) = √26.

Отже, довжина середньої лінії АŅ дорівнює √26.

Дякую за увагу.

Answer 2

Для нашої задачі ми маємо трикутник ABC з вершинами A(0,2), B(4,-2) і C(-2,-4).

Спосіб 1: Знаходження точки M - середини відрізка AB.

Щоб знайти середину відрізка AB, давайте знаходимо середнє значення координат x і y вершин A і B. Середина M має координати (xM, yM), де:

xM = (xA + xB) / 2 yM = (yA + yB) / 2

Для A(0,2) та B(4,-2), ми знаходимо:

xM = (0 + 4) / 2 = 4 / 2 = 2 yM = (2 + (-2)) / 2 = 0 / 2 = 0

Отже, точка M, яка є серединою відрізка AB, має координати M(2,0).

Спосіб 2: Знаходження середини відрізка BC та середньої лінії М.

Середина відрізка BC має ті ж координати, як і середина відрізка AB:

xM = 2 yM = 0

Тепер давайте знайдемо середню лінію М, яка проходить через середину відрізка AB і середину відрізка BC. Ми знаємо координати цих точок, тобто M(2,0) і M(2,0). Тому середня лінія буде проходити через ці дві точки.

Рівняння прямої можна записати у вигляді y = mx + b, де m - це нахил прямої, а b - це зміщення від осі y (пересічення з осьовими координатами).

Нахил прямої m визначається як (y2 - y1) / (x2 - x1), де (x1, y1) та (x2, y2) - координати двох точок, через які проходить пряма.

Отже, m = (0 - 0) / (2 - 2) = 0 / 0. Однак це невизначеність, тому пряма паралельна осі y, і рівняння прямої має вигляд x = k, де k - це x-координата точки, через яку проходить пряма.

Знаючи, що пряма проходить через точку M(2,0), ми можемо записати рівняння прямої:

x = 2

Отже, рівняння середньої лінії М має вигляд x = 2.

Таким чином, ви знайшли координати точки М та рівняння середньої лінії, яка проходить через точку М.