Question

В основании пирамиды лежит равнобедренный прямоугольный треугольник. Боковая грань проходящая через гипотенузу перпендикулярна плоскости основания и является равнобедренным треугольником с боковой стороной 9корней из 3. Каждая из двух других боковых граней составляет с плоскостью основания угол, синус которого равен 4/корень из 17. Найдите объём пирамиды.

Answer 1

АВС- прямоугольный равнобедренный треугольник.
Пусть АС=ВС=х, тогда АВ=х√2.
МАВ- равнобедренный треугольник.
МО- высота, медиана и биссектриса.
АО=ОВ=x√2/2;
ОК⊥ВС
МК⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах.
sin∠MKO=4/√17  ⇒  cos∠MKO=1/√17⇒tg∠MKO=4.
МО=ОК·tgMKO=(x/2)·4=2x
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника МВО:
МВ²=МО²+ОВ²;
(9√3)²=(2х)²+(х√2/2)²;
243=9х²/2;
х²=54
х=3√6
V=(1/3)·(AC·BC/2)·MO=(1/6)·(x·x/2)·2x=x³/6=(3√6)³/6=27√6.
О т в е т. V=27√6.

Answer 2

Для нахождения объема пирамиды, нам сначала нужно найти площадь основания и высоту пирамиды.

1. Найдем площадь основания, которая является равнобедренным прямоугольным треугольником. Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно найти по формуле: S = (1/2) * a^2, где "a" - длина катета.

В данном случае, a = 9√3 (по условию).

S = (1/2) * (9√3)^2 = (1/2) * 243 = 121.5

Теперь у нас есть площадь основания.

2. Найдем высоту пирамиды. Для этого нам нужно найти длину линии, проведенной от вершины пирамиды до середины гипотенузы равнобедренного треугольника.

Для этого воспользуемся тригонометрическими соотношениями. У нас есть информация о синусе угла между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания.

sin(α) = 4/√17, где α - угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Так как у нас равнобедренный треугольник, то:

sin(α) = (половина высоты пирамиды) / (половина гипотенузы треугольника)

Половина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника: (1/2) * 9√3 = 4.5√3

Теперь мы можем найти половину высоты пирамиды:

(4.5√3) * (4/√17) = (4.5 * 4) = 18

Теперь у нас есть и площадь основания, и половина высоты пирамиды.

3. Теперь найдем объем пирамиды:

V = (1/3) * S * h

V = (1/3) * 121.5 * 18 = 729

Ответ: Объем пирамиды равен 729 кубическим единицам.