Question

В правильной 6-угольной пирамиде боковые грани составляют с плоскостью основания угол 60°. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром.

Answer 1

Давай попробуем рассуждать логически. Мысленно в шестиугольник, лежащий в основании пирамиды впишем окружность, пусть её радиус будет х. Высоту пирамиды обозначим Н. Что мы увидим в плоскости, содержащей апофему и высоту призмы? Мы увидим прямоугольный треугольник с катетами х и Н, и углом 60. Следовательно, выполнится соотношение Н=х*tg(60) = x*корень(3). Отлично. Теперь в плоскости основания дополнительно проведём описанную окружность около нашего шестиугольника. Чему будет равен её радиус Х? Он очевидно связан с радиусом вписанной окружности х как Х=2х/корень(3). Переходим теперь в плоскость, содержащую боковое ребро и высоту пирамиды. Что мы видим здесь? Внезапно опять прямоугольный треугольник, теперь со сторонами Н и Х=2х/корень(3). Значит выполнится соотношение: тангенс нужного нам угла (назовём его бетта) равен Н делить на Х, или Н/ (2х /корень(3)). Вместо Н можем подставить ранее полученное отношение, что Н=х*корень(3) Итого, своим всё в кучку: tg(бетта) = х*корень(3) / (2х /корень(3)). Сокращаем х и останется tg(бетта) = 3/2 = 1,5. Ну, так у меня получилось, лучше проверь за мной. А то мало ли, вдруг косяк.

Answer 2

Для нахождения тангенса угла между плоскостью основания и боковым ребром правильной 6-угольной пирамиды, давайте воспользуемся геометрическими соображениями.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания составляет 60 градусов, и так как пирамида правильная, боковые грани являются равносторонними треугольниками. Это означает, что угол между боковым ребром и одной из боковых граней также составляет 60 градусов.

Теперь мы можем использовать определение тангенса угла. Тангенс угла равен отношению длины противолежащей стороны к длине прилежащей стороны в прямоугольном треугольнике. В нашем случае, противолежащей стороной будет длина бокового ребра пирамиды, а прилежащей стороной будет половина длины одной из сторон равностороннего треугольника, который составляет одну из боковых граней.

Пусть L будет длиной бокового ребра, и s будет длина стороны равностороннего треугольника. Тогда тангенс угла между боковым ребром и боковой гранью равен:

tan(60 градусов) = L / (s/2)

Теперь мы можем решить это уравнение для L:

tan(60 градусов) = √3 = L / (s/2)

Умножим обе стороны на (s/2):

√3 = L / (s/2)

Теперь умножим обе стороны на (s/2), чтобы найти длину бокового ребра:

L = √3 * (s/2)

Таким образом, тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром равен √3.