Question

если пересечь 2 концентрических круга секущей, то части секущей лежащие между окружностями, равны между собой. доказать

Answer 1

Надо разобраться  с чертежом.Пусть точки пересечения секущей и окружностей будут М, А, В, N.  Надо возиться с треугольниками.
1) ΔАОВ - равнобедренный ⇒ углы при основании равны.
угол ВАО = углу АВО⇒равны смежные с ними. угол МАО = углу ОВN.
2)Δ MON - равнобедренный ⇒ углы при основании равны ⇒ равны третьи углы в ΔАМО  и  ΔВNО
3) Δ АМО  =  ΔВNО по 1 признаку равенства треугольников ( МО = ОN,
 АО= ОВ  и углы между ними)⇒ АМ = ВN 

Answer 2

Для начала, предположим, что у нас есть два концентрических круга с центром в точке $O$ и радиусами $r_1$ и $r_2$, причем $r_1 < r_2$. Пусть есть секущая, пересекающая оба круга в точках $A$ и $B$.

Теперь обозначим точки пересечения секущей с внутренним и внешним кругами как $C$ и $D$ соответственно, таким образом, что $C$ лежит на внутреннем круге, а $D$ на внешнем круге.

По утверждению задачи, мы должны доказать, что отрезки $AC$ и $BD$ равны между собой.

Рассмотрим треугольник $OAC$ и треугольник $OBD$. Они оба имеют общую гипотенузу $O$ и вертикальные углы $\angle OAC$ и $\angle OBD$, так как они соответственно являются углами накрест лежащими при пересечении.

Также, поскольку отрезки $OC$ и $OD$ являются радиусами внутреннего и внешнего кругов, они равны $r_1$ и $r_2$ соответственно.

Теперь, используя теорему косинусов для треугольников $OAC$ и $OBD$, мы можем записать:

$AC^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos(\angle AOB)$

и

$BD^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos(\angle AOB)$

Так как угол $\angle AOB$ общий для обоих треугольников, его косинус будет одинаковым для обоих уравнений.

Таким образом, получаем, что $AC = BD$, что и требовалось доказать.