Question

За даним рівнянням траєкторії руху центру мас даного елементу технічної системи x=1+cos(пt 2 /3); y=3sin(пt 2 /3)+3; t1=1c визначити його швидкості та прискорення

Answer 1

Щоб знайти швидкість та прискорення центру мас даного елементу технічної системи, ми можемо використовувати похідні від рівнянь x і y відносно часу t.

Спочатку знайдемо похідні x і y відносно t:

Для x:

x = 1 + cos(πt^2/3)

dx/dt = d/dt (1 + cos(πt^2/3))

dx/dt = 0 - sin(πt^2/3) * d/dt (πt^2/3)

dx/dt = -sin(πt^2/3) * (2/3)πt^(-1/3)

dx/dt = -(2/3)πt^(-1/3) * sin(πt^2/3)

Для y:

y = 3sin(πt^2/3) + 3

dy/dt = d/dt (3sin(πt^2/3) + 3)

dy/dt = 3 * d/dt (sin(πt^2/3)) + 0

dy/dt = 3 * cos(πt^2/3) * d/dt (πt^2/3)

dy/dt = 3 * cos(πt^2/3) * (2/3)πt^(-1/3)

dy/dt = 2πt^(-1/3) * cos(πt^2/3)

Тепер ми маємо похідні x і y відносно t, і ми можемо знайти швидкість та прискорення:

Швидкість:

Vx = -(2/3)πt^(-1/3) * sin(πt^2/3)

Vy = 2πt^(-1/3) * cos(πt^2/3)

Прискорення:

Ax = dVx/dt = d/dt [-(2/3)πt^(-1/3) * sin(πt^2/3)]

Ay = dVy/dt = d/dt [2πt^(-1/3) * cos(πt^2/3)]

Ці формули дають вам швидкість та прискорення центру мас даного елементу технічної системи в залежності від часу t.

Answer 2

Для знаходження швидкості і прискорення руху центру мас елементу технічної системи, використовуйте наступні формули:

Швидкість (V) обчислюється як перша похідна координати по часу: V = (dx/dt, dy/dt)

Прискорення (A) обчислюється як друга похідна координати по часу: A = (d^2x/dt^2, d^2y/dt^2)

Давайте спершу знайдемо похідні x і y по відношенню до часу t.

x(t) = 1 + cos(πt^2/3) dx/dt = -2πt/3 sin(πt^2/3)

y(t) = 3sin(πt^2/3) + 3 dy/dt = 3πt^(1/3) cos(πt^2/3)

Тепер знайдемо другі похідні:

d^2x/dt^2 = d/dt (-2πt/3 sin(πt^2/3)) d^2x/dt^2 = -2π/3 cos(πt^2/3) - 4π^2t^2/9 sin(πt^2/3)

d^2y/dt^2 = d/dt (3πt^(1/3) cos(πt^2/3)) d^2y/dt^2 = 3π/3 cos(πt^2/3) - 2π^2t^(4/3) sin(πt^2/3)

Тепер, коли у нас є вирази для перших і других похідних x і y відносно t, ми можемо обчислити швидкість і прискорення в момент часу t=1 секунда.

1. Швидкість: V = (dx/dt, dy/dt) при t=1 секунда V = (-2π/3 sin(π(1^2/3)), 3π(1^(1/3)) cos(π(1^2/3))) V = (-2π/3 sin(π), 3π cos(π)) V = (0, -3π)

2. Прискорення: A = (d^2x/dt^2, d^2y/dt^2) при t=1 секунда A = (-2π/3 cos(π) - 4π^2(1^2)/9 sin(π), 3π/3 cos(π) - 2π^2(1^4/3) sin(π)) A = (-2π/3 cos(π) - 4π^2/9 sin(π), 3π/3 cos(π) - 2π^2 sin(π)) A = (2π/3 - 0, -3π - 0) A = (2π/3, -3π)

Отже, швидкість центру мас в момент часу t=1 секунда дорівнює (0, -3π), а прискорення дорівнює (2π/3, -3π).