Question

Рівнобедрений трикутник з основою 8 см і периметром 18 см обертається навколо прямої, що є паралельною основі і проходить через вершину найбільшого кута трикутника. Знайдіть об’єм тіла обертання.

Answer 1

Відповідь:

48π см³

Пояснення:

пряма навколо якої обертається трикутник проходить через вершину трикутника, яка лежить навпроти основи, тому що - це найбільши кут, бо за властивістю : найбільший кут лежить навпроит найбільшої сторони, а бічні сторони трикутника за сумую кутів  рикутника- 5 см

отже, отримана фігури це циліндр, з якого вирізали два конуси, зверху та знизу, вершини яких лежать на серидині висоти циліндра

щоб знайти об'єм нашої фігури , потрібно знайти об'єм звичайного циліндра, і тих конусів (вони будуть однакового об'єму) а потім від об'ємуциліндра відняти об'єм конусів.

висота циліндра - 8 см
радіус - це висота початкового трикутника
щоб його знайти треба опустити висоту з вершини на основу, та за теоремою Піфагора : h² = 5²-4²

h²=9

h=3
(4 - це половина основи трикутника, оскільки в рівнобедреному трикутнику висота також є і медіаною, і бісиктрисою)

радіус - 3см

Vциліндра = So*h = πr²*h = π3²*8 = 9*8*π = 72π см³

Vконуса = 1/3So*h = 1/3*πr²*h = 1/3*π*9*4 = 12π см³

Vфігури = 72π - 12π - 12π = 48π см³

Answer 2

Для знаходження об'єму тіла обертання рівнобедреного трикутника, який обертається навколо прямої, яка є паралельною основі і проходить через вершину найбільшого кута трикутника, спочатку розділимо це тіло на дві частини. Одна з цих частин буде об'ємом конуса, а інша - об'ємом циліндра.

1. Об'єм конуса: Об'єм конуса можна знайти за формулою: V_cone = (1/3) * π * r^2 * h, де r - радіус основи конуса, h - висота конуса.

У нашому випадку, рівнобедрений трикутник з основою 8 см має дві однакові сторони, тобто вершина конуса розташована в середині основи і дорівнює половині довжини основи: r = 8 см / 2 = 4 см.

Також нам потрібно знайти висоту конуса (h). Для цього можна використовувати трикутник властивості. Висота (h) - це відстань від вершини конуса до середини сторони основи трикутника. Таким чином, ми можемо використовувати піввисоти трикутника:

h = (1/2) * висота_трикутника.

Тепер нам потрібно знайти висоту трикутника. Ми можемо використовувати теорему Піфагора, оскільки це рівнобедрений трикутник:

8^2 = a^2 + (1/2 * висота_трикутника)^2,

64 = a^2 + (1/4 * висота_трикутника)^2,

1/4 * висота_трикутника = √(64 - a^2),

висота_трикутника = 4 * √(64 - a^2).

Тепер ми можемо обчислити висоту конуса:

h = (1/2) * 4 * √(64 - a^2) = 2 * √(64 - 4^2) = 2 * √(64 - 16) = 2 * √48 = 4√3 см.

Тепер ми можемо знайти об'єм конуса:

V_cone = (1/3) * π * (4 см)^2 * (4√3 см) = (1/3) * π * 16 см^2 * 4√3 см = (16/3)π√3 см^3.

2. Об'єм циліндра: Об'єм циліндра можна знайти за формулою: V_cylinder = π * r^2 * h, де r - радіус циліндра, h - висота циліндра.

Радіус циліндра рівний радіусу конуса, тобто r = 4 см.

Також, висота циліндра (h) - це відстань від вершини конуса до верхньої сторони трикутника, що дорівнює половині висоти трикутника:

h = (1/2) * (1/2 * висота_трикутника) = (1/4) * 4√3 см = √3 см.

Тепер ми можемо знайти об'єм циліндра:

V_cylinder = π * (4 см)^2 * √3 см = 16π√3 см^3.

Отже, об'єм тіла обертання складається з об'єму конуса і об'єму циліндра:

V_тіла_обертання = V_cone + V_cylinder = (16/3)π√3 см^3 + 16π√3 см^3 = (16/3 + 48/3)π√3 см^3 = (64/3)π√3 см^3.

Отже, об'єм тіла обертання дорівнює (64/3)π√3 см^3.