Question

Запишіть рівняння площини, яка дотикається до сфери (х + 3)2 + + (у – 6)2 + (z – 5)2 = 51 у точці А (2;1;4).

Answer 1

Ответ:

Рівняння площини, яка дотикається до сфери, можна записати в наступному вигляді:

(x - x₀)(x - x₀) + (y - y₀)(y - y₀) + (z - z₀)(z - z₀) = r²,

де (x₀, y₀, z₀) - координати точки А, яка є точкою дотику площини до сфери, а r - радіус сфери.

В даному випадку, координати точки А (2;1;4) і радіус сфери r = √51 (згідно з рівнянням сфери).

Тому рівняння площини, яка дотикається до сфери у точці А (2;1;4), буде:

(x - 2)(x - 2) + (y - 1)(y - 1) + (z - 4)(z - 4) = 51.

Объяснение:

Answer 2

Щоб знайти рівняння площини, яка дотикається до заданої сфери у точці A(2, 1, 4), ми можемо використовувати наступний метод. В точці дотику площина буде дотикатися до сфери, отже, вектор нормалі площини буде напрямлений від центру сфери до точки дотику.

Спочатку знайдемо центр сфери, виразивши його з рівняння сфери:

(x + 3)^2 + (y - 6)^2 + (z - 5)^2 = 51

Розкриємо дужки та виразимо центр:

x^2 + 6x + 9 + y^2 - 12y + 36 + z^2 - 10z + 25 = 51

x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 12y - 10z + 9 + 36 + 25 - 51 = 0

x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 12y - 10z + 19 = 0

Тепер знайдемо вектор, який сполучає центр сфери і точку дотику:

Вектор OA = (2 - (-3), 1 - 6, 4 - 5) = (5, -5, -1)

Вектор нормалі площини може бути співвідношений з вектором OA. Поширимо вектор OA до вектора нормалі, поділивши його на довжину:

Довжина вектора OA: ||OA|| = √(5^2 + (-5)^2 + (-1)^2) = √(25 + 25 + 1) = √51

Вектор нормалі:

n = (1/√51) * (5, -5, -1)

Тепер ми маємо вектор нормалі, і можемо записати рівняння площини у точці A (2, 1, 4). Використовуючи загальну форму рівняння площини Ax + By + Cz + D = 0, де (A, B, C) - вектор нормалі, можемо записати:

(1/√51) * (5, -5, -1) * (x - 2) + (1/√51) * (5, -5, -1) * (y - 1) + (1/√51) * (5, -5, -1) * (z - 4) = 0

Це рівняння площини, яка дотикається до сфери у точці A (2, 1, 4).