Question

Основою прямого паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 є паралелограм ABCD, AD = 8 см, ∠BAD = 30°. Кут між площинами ABC і A1CD дорівнює 45°. Знайдіть бічне ребро паралелепіпеда.

Answer 1

Ответ:

Бічне ребро паралелепіпеда дорівнює 4 см.

Объяснение:

Основою прямого паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ є паралелограм ABCD, AD = 8 см, ∠BAD = 30°. Кут між площинами ABC і A1CD дорівнює 45°. Знайдіть бічне ребро паралелепіпеда.

Маємо прямій паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, в основі якого лежить паралелограм АВСD, AD = 8 см, ∠BAD = 30°.

1) Проведемо з точки А перпендикуляр до CD, так як ∠BAD = 30° то цей перпендикуляр попаде на продовження сторони CD: АЕ⊥CD.

У прямого паралелепіпеда бічне ребро АА₁ перпендикулярно до площини основи (ABC), тому АА₁ перпендикулярна до кожного відрізка, що лежить в площині основи, тобто АА₁⊥AЕ.

За теоремою «про три перпендикуляри» А₁Е⊥CD, тому ∠А₁ЕА - кут між площинами ABC і A₁CD.

Отже, ∠А₁ЕА = 45° .

2) Розглянемо прямокутний трикутник АDЕ (∠АЕD=90°)

∠АDЕ=∠BAD = 30° - як внутрішні різносторонні кути при АВ ║ CD (сторони паралелограма) і січній АD.

Катет АЕ лежить навпроти кута 30°, тому він дорівнює половині гіпотенузи АD:

$AE = \dfrac{1}{2} \cdot AD = \dfrac{1}{2} \cdot 8 = \bf 4$ (см)

3) Розглянемо прямокутний трикутник АА₁Е (∠А₁АЕ=90°)

За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника

∠АА₁Е = 90° - ∠А₁ЕА = 90° - 45° = 45°

Отже ΔАА₁Е - рівнобедрений з основою А₁Е.

АА₁ = АЕ = 4 см - як бічні сторони рівнобедреного трикутника.

Відповідь: 4 см

#SPJ1

Answer 2

Для знаходження бічного ребра паралелепіпеда, нам потрібно використовувати властивості геометричних фігур та тригонометричних функцій.

1. З опису прямокутника ABCD відомо, що AD = 8 см і ∠BAD = 30°. Тому, ми можемо визначити BC, як BC = AD * tan(∠BAD), де tan відповідає тангенсу кута.

   BC = 8 см * tan(30°)

2. З опису кута між площинами ABC і A1CD відомо, що цей кут дорівнює 45°. Також, ми знаємо, що паралелепіпед має властивість, де відношення бічного ребра паралелепіпеда до його діагоналі у гранях, що утворюють цей кут, дорівнює тангенсу цього кута.

   Бічне ребро / Діагональ = tan(45°)

3. Діагональ паралелограма ABCD може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора, тому що ABCD - це прямокутник.

   Діагональ = √(AD^2 + BC^2)

4. Знаючи значення тангенсу кута між площинами та діагональ паралелограма ABCD, ми можемо знайти бічне ребро паралелепіпеда:

   Бічне ребро = Діагональ * tan(45°)

   Бічне ребро = (√(AD^2 + BC^2)) * tan(45°)

Підставляючи відомі значення:

Бічне ребро = (√(8^2 + (8 * tan(30°))^2)) * tan(45°)

Розрахунки:

tan(30°) ≈ 0.5774 tan(45°) = 1

Бічне ребро ≈ (√(64 + (8 * 0.5774)^2)) * 1 Бічне ребро ≈ (√(64 + 4.1974)) * 1 Бічне ребро ≈ (√68.1974) * 1 Бічне ребро ≈ 8.26 см (округлено до двох знаків після коми)

Отже, бічне ребро паралелепіпеда дорівнює приблизно 8.26 см.