Question

Открытый цилиндрический бак Kаковы должны быть размеры открытого цилиндрического бака объёмом 19,683π, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала? Радиус основания цилиндра равен . Высота цилиндра равна .

Answer 1

Площадь бака S = πR² + 2 πRh.

Выразим h через объём: V= πR²h, откуда h = V/πR².

Заменим h в формуле площади:  

S = πR² + 2πR(V/πR²) = πR² + (2V/R).

Находим производную функции площади по R²:

S’ = 2πR - (2V/R2) и приравниваем к нулю.

2πR + (2V/R2) = 0, откуда находим  

R = ³√(V/π) = ³√(19,683π/π) = 2,7 см.

h = V/πR² = 19.683π/(π·2.7²) = 2,7 см.

Ответ: 2,7 см; 2,7 см.

Answer 2

Для определения размеров открытого цилиндрического бака, чтобы использовать минимальное количество материала, нужно учесть, что минимизация материала достигается при минимизации площади поверхности бака. В данном случае, бак имеет открытое верхнее основание, поэтому его поверхность состоит из трех частей:

1. Внешняя поверхность боковой стенки цилиндра.
2. Внутренняя поверхность боковой стенки цилиндра.
3. Внешняя поверхность дна цилиндра.

Давайте обозначим радиус основания цилиндра как "r" и высоту цилиндра как "h". Объем бака равен 19,683π, что означает:

V = π * r^2 * h = 19,683π

Теперь мы хотим минимизировать площадь поверхности бака. Площадь боковой стенки цилиндра (S) равна:

S = 2 * π * r * h

Площадь дна цилиндра (S_d) равна:

S_d = π * r^2

Теперь мы можем выразить радиус r через высоту h из уравнения для объема бака и подставить его в уравнения для S и S_d:

19,683π = π * r^2 * h

r^2 = 19,683 / h

r = √(19,683 / h)

Теперь, подставив r в уравнения для S и S_d, мы получим:

S = 2 * π * (√(19,683 / h)) * h S_d = π * (19,683 / h)

Общая площадь поверхности бака (S_total) равна сумме площадей боковой стенки и дна:

S_total = S + S_d = 2 * π * (√(19,683 / h)) * h + π * (19,683 / h)

Теперь задача сводится к поиску минимума S_total. Для этого нужно найти производную S_total по h и приравнять ее к нулю:

d(S_total)/dh = 2 * π * (√(19,683 / h)) - π * (19,683 / h^2) = 0

Теперь решим это уравнение для h:

2 * π * (√(19,683 / h)) = π * (19,683 / h^2)

Упростим:

2 * √(19,683 / h) = 19,683 / h^2

Теперь избавимся от корня:

4 * 19,683 / h = 19,683 / h^2

Умножим обе стороны на h^2:

4 * 19,683 = 19,683 / h

Теперь избавимся от дроби:

4 * 19,683 * h = 19,683

Теперь разделим обе стороны на 4 * 19,683:

h = 1 / (4 * 19,683)

Теперь, когда мы нашли значение h, можем найти значение r, подставив его в одно из начальных уравнений:

r = √(19,683 / h) = √(19,683 / (1 / (4 * 19,683))) = √(19,683 * 4 * 19,683) = 4 * 19,683

Итак, чтобы использовать минимальное количество материала, радиус основания цилиндра должен быть 4 * 19,683, а высота должна быть 1 / (4 * 19,683).