Question

Точка Д равноудалена от вершин А и С равнобедренного треугольника АВС: АВ=ВС. Точка М-середина АС. Доказать, что (авс) перпендикулярно (вдм)

Answer 1

М - середина АС, значит ВМ - медиана и высота равнобедренного треугольника АВС,

а DM - медиана и высота равнобедренного треугольника ADC (точка D равноудалена от вершин А и С, значит DA = DC).

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна плоскости:

AC ⊥ BM, AC ⊥ DM, значит АС ⊥ (BDM).

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны:

АС ⊂ (АВС), АС ⊥ (BDM), ⇒ (ABC) ⊥ (BDM)

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим геометрическую ситуацию более подробно.

У нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, и точка D, которая равноудалена от вершин A и C. Точка M является серединой отрезка AC.

Чтобы доказать, что прямая (AVC) перпендикулярна прямой (VDM), давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Рассмотрим треугольник ADM. Поскольку M - середина отрезка AC, то AM = MC. Также, по условию, AD = DC, так как D равноудалена от вершин A и C.

2. Теперь у нас есть два равнобедренных треугольника: треугольник ADM и треугольник CDM. В этих треугольниках у нас есть две стороны, равные по длине: AM = MC и AD = DC.

3. По свойствам равнобедренных треугольников, угол при основании равнобедренного треугольника равен углу между биссектрисой и основанием. Это означает, что угол AMB (где B - вершина равнобедренного треугольника ABC) равен углу CMD.

4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник VDM. Угол CMD равен углу CDM по равенству углов из предыдущего пункта.

5. Следовательно, угол VDM равен углу CMD, и, так как угол CMD равен углу AMB, то угол VDM также равен углу AMB.

6. Однако угол AMB - это угол между сторонами треугольника ABC, и мы знаем, что AB = BC. Следовательно, угол AMB - это угол прямоугольного треугольника ABC.

7. Таким образом, мы доказали, что угол VDM равен прямому углу, и, следовательно, прямая (VDM) перпендикулярна прямой (AVC).

Таким образом, мы доказали, что прямая (AVC) перпендикулярна прямой (VDM).