Question

довести що в любому трикутнику відношення суми квадратів сторін до сумми квадратів медіан є сталою величеною . знайти цю величину

Answer 1

довести що в любому трикутнику відношення суми квадратів сторін до сумми квадратів медіан є сталою величеною . знайти цю величину

http://methmath.ru/zadatcha117.html

Answer 2

Спробуємо довести, що в будь-якому трикутнику відношення суми квадратів сторін до суми квадратів медіан є сталою величиною. Позначимо сторони трикутника як $a$, $b$ і $c$, а медіани, які проведені з кожного вершини, будемо позначати як $m_a$, $m_b$ і $m_c$.

Сума квадратів сторін трикутника:

$a^2 + b^2 + c^2$

Сума квадратів медіан трикутника може бути обчислена за допомогою формули:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4} + \frac{2(a^2 + c^2) - b^2}{4} + \frac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4} = \frac{3(a^2 + b^2 + c^2)}{4}$

Тепер ми можемо обчислити відношення:

$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{m_a^2 + m_b^2 + m_c^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{\frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)} = \frac{4}{3}$

Таким чином, відношення суми квадратів сторін до суми квадратів медіан буде сталим і дорівнюватиме $4/3$.