Question

Задача по начертательной геометрии Построить проекции квадрата ABCD cо стороной BC на фронтали f , проходящей через точки Е и F A(65;20;10) E(70;10;10) F(15,?,40)

Answer 1

Фронталь - это прямая, параллельная фронтальной плоскости :  f║XOZ,  значит, координата $y_F=y_E=10$   ⇒   F(15, 10, 40)

Чтобы найти длину стороны квадрата, нужно найти расстояние от точки А до фронтали f.

1) Направляющий вектор фронтали f :  

$\vec {EF}=(x_F-x_E; y_F-y_E; z_F-z_E)=(15-70; 10-10; 40-10)\\ \\ \vec {EF}(-55;0;30)\\ \\ |\vec {EF}|=\sqrt{(-55)^2+0^2+30^2} =\sqrt{3925}\approx 62,65$

2) Вектор к точке на фронтали, проходящий через точку A

$\vec {AE} = (70-65;10-20;10-10)=(5;-10;0)$

3) Векторное произведение

$></p> <p><img src=$

$|[\vec {AE}\times \vec {EF}]|=\sqrt{(-300)^2+(-150)^2+(-550)^2}=\sqrt{415000}\approx 644,20$

4) Длина стороны квадрата - расстояние от точки А до фронтали

644,20 : 62,65 ≈ 10,28

5) Координаты точки В.  

Точка В лежит на фронтали  ⇒  $y_B=10$

$\dfrac{x-70}{-55}=\dfrac{y-10}{0}=\dfrac{z-10}{30}\\ \\ \dfrac{x_B-70}{-55}=\dfrac{z_B-10}{30}\\ \\ 6(x_B-70)=-11(z_B-10)$

С другой стороны векторы $\vec {AB}$  и  $\vec {EF}$  перпендикулярны, скалярное произведение равно нулю.

$\vec {AB}=(x_B-65; 10-20; z_B-10)=(x_B-65; -10; x_B-10)$

$\vec {AB} \cdot \vec{EF}=(x_B-65)\cdot (-55)+(-10)\cdot 0 + (z_B-10)\cdot 30=0\\\\\displaystyle \left \{ {{6(x_B-70)=-11(z_B-10)}\atop {-11(x_B-65)+6(z_B-10)=0}}\\\right. ~~\Leftrightarrow~~ \displaystyle \left \{ {{6x_B-420=-11z_B+110}\atop {-11x_B+715+6z_B-60=0}}\\\right. \\\\ \\\displaystyle \left \{ {{6x_B+11z_B+530=0}\atop {-11x_B+6z_B+655=0}}\\\right.$

Решив систему, получаем координаты точки В (66,15; 10; 12,10)

Чтобы не искать координаты точек  C и D, достаточно отложить от точки В длину стороны квадрата 10,28 на фронтальной плоскости.  Так как ВС║XOZ, то проекция длины квадрата на фронтальную плоскость будет равна длине квадрата.   Отложить можно в обе стороны.  Возможно 2 варианта построения.  В приложении дан чертёж для случая, когда точки C и D расположены к центру координат от точек A и B.

Answer 2

Для построения проекций квадрата ABCD на фронтальной плоскости F, проходящей через точки Е и F, сначала нужно найти координаты точек B и C на этой плоскости.

Известно, что точка A(65;20;10) принадлежит фронтальной плоскости F. Также даны координаты точек E(70;10;10) и F(15,?,40) на этой плоскости. Мы знаем координату x точки F (15), а нам нужно найти координату y.

Мы знаем, что точка F лежит на фронтальной плоскости, и у нее есть одна общая координата с точкой E, которая также находится на фронтальной плоскости. Поэтому можно воспользоваться координатами точки E для нахождения координаты y точки F.

E(70;10;10) и F(15,?,40) находятся на одной и той же плоскости, поэтому их координаты должны удовлетворять уравнению плоскости:

10x + 10y + 40z = d

Подставляем координаты точки E:

10 * 70 + 10 * 10 + 40 * 10 = d 700 + 100 + 400 = d d = 1200

Теперь, когда мы знаем значение d, можем найти координату y для точки F:

10 * 15 + 10 * y + 40 * 40 = 1200 150 + 10y + 1600 = 1200 10y + 1750 = 1200 10y = 1200 - 1750 10y = -550 y = -55

Таким образом, координаты точки F равны F(15; -55; 40).

Теперь у нас есть координаты точек A, E и F на фронтальной плоскости F. Мы можем построить проекции квадрата ABCD на эту плоскость.