Question

Пожалуйста помогите по школьному эгзамену. Сформулировать и доказать свойство биссектрисы внутреннего угла

Answer 1

Теорема. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 259) и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе ВК, до пересечения в точке М с продолжением стороны АВ. Так как ВК — биссектриса угла ABC, то . Далее,  как соответственные углы при параллельных прямых, и  как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда  и поэтому  — равнобедренный, откуда . По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем  а ввиду  получим , что и требовалось доказать.

Answer 2

Конечно, я помогу вам сформулировать и доказать свойство биссектрисы внутреннего угла.

Свойство биссектрисы внутреннего угла: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит этот угол на два равных по величине угла и делит противолежащую сторону в отношении длин двух других сторон.

Доказательство: Предположим, что у нас есть треугольник ABC, и пусть BD - биссектриса угла BAC. Мы хотим доказать наше утверждение.

1. Рассмотрим угол BAC. Биссектриса BD делит этот угол на два равных угла: угол BAD и угол CAD. Это следует из определения биссектрисы.

2. Поскольку угол BAD и угол CAD равны, то у них также равны противолежащие стороны. Это следует из равенства углов в треугольнике: если два угла равны, то и противолежащие им стороны равны.

3. Из этого следует, что отрезок BD делит сторону AC на две части, пропорциональные соседним сторонам AB и BC.

Таким образом, мы доказали, что биссектриса BD внутреннего угла BAC делит этот угол на два равных угла и делит противолежащую сторону AC в отношении длин сторон AB и BC. Это и есть свойство биссектрисы внутреннего угла.