Question

В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 6см. Найти площадь поверхности пирамиды.

Answer 1

Для нахождения площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды можно воспользоваться следующей формулой:

Площадь поверхности = Площадь основания + Площадь боковой поверхности.

1. Площадь основания: Поскольку это правильная четырехугольная пирамида, основание будет четырехугольником, а площадь четырехугольника можно найти, зная его сторону. Для этого нам нужно разделить четырехугольник на два равнобедренных треугольника и найти площадь одного из них.

У нас есть высота пирамиды и угол между боковым ребром и плоскостью основания. Это создает равнобедренный треугольник с углом 60 градусов. Пусть "a" будет длиной стороны четырехугольника (основания).

Используем тригонометрические соотношения для нахождения стороны "a": $a = 2 \cdot h \cdot \tan(30°) = 2 \cdot 6 \, \text{см} \cdot \tan(30°) \approx 6.93 \, \text{см}.$

Площадь одного равнобедренного треугольника (половина основания) равна: $S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6.93 \, \text{см} \cdot 6 \, \text{см} \approx 20.79 \, \text{см}^2.$

Так как у нас четыре таких треугольника в основании, то площадь всего основания равна: $S_{\text{основания}} = 4 \cdot S_{\text{треугольника}} = 4 \cdot 20.79 \, \text{см}^2 = 83.16 \, \text{см}^2.$

2. Площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, используя формулу: $S_{\text{боковой}} = \frac{1}{2} \cdot \text{периметр основания} \cdot \text{высота}.$

Поскольку у нас четырехугольник, то периметр основания равен сумме всех его сторон. У нас уже есть длина одной стороны "a" (6.93 см), и у нас есть 4 стороны.

Периметр основания: $P = 4 \cdot a = 4 \cdot 6.93 \, \text{см} = 27.72 \, \text{см}.$

Теперь можем найти площадь боковой поверхности: $S_{\text{боковой}} = \frac{1}{2} \cdot 27.72 \, \text{см} \cdot 6 \, \text{см} = 83.16 \, \text{см}^2.$

3. Наконец, сложим площадь основания и площадь боковой поверхности, чтобы найти площадь всей поверхности пирамиды: $S_{\text{поверхности}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковой}} = 83.16 \, \text{см}^2 + 83.16 \, \text{см}^2 = 166.32 \, \text{см}^2.$

Площадь поверхности пирамиды составляет 166.32 квадратных сантиметра.