Question

Докажите,что если медиана треугольника равна половине стороны к которой она проведена,то треугольник прямоугольный.

Answer 1

Легко видеть, что сторона, к которой провели медиану суть диаметр окружности, описанной около этого треугольника (расстояния от середины стороны до вершин равны). А угол, опирающийся на диаметр - прямой.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим произвольный треугольник ABC, где M - медиана, проведенная к стороне AB, и AM = MB (по условию).

Предположим, что угол AMB не прямой. Тогда существует третья точка P на отрезке MB такая, что угол AMP тоже не является прямым углом. Рассмотрим два случая:

Случай 1: AM = MB и угол AMB острый

В этом случае медиана AMB является высотой треугольника AMP. Поскольку AM = MB, треугольник AMP является равнобедренным. Это означает, что угол APM = угол AMP. Так как угол AMP острый, а угол APM также острый (так как угол AMB острый), то треугольник AMP не может быть прямоугольным. Но это противоречит условию, что AM = MB - медиана равна половине стороны, к которой она проведена. Следовательно, угол AMB не может быть острым.

Случай 2: AM = MB и угол AMB тупой

В этом случае угол APM также тупой. Таким образом, треугольник AMP не может быть прямоугольным, так как у него два тупых угла.

В обоих случаях мы пришли к противоречию, и поэтому предположение, что угол AMB не прямой, неверно. Следовательно, треугольник ABC должен быть прямоугольным, и угол AMB является прямым углом.