Question

Диагонали трапеции OIUA с основаниями OI и UA пересекаются в точке E под прямым углом. Известно, что сторона UA меньше стороны OI и угол O прямой. Биссектриса угла OEA пересекает OA в точке K, а прямая, проходящая через точку K параллельно OI, пересекает прямую IU в точке L. Докажите, что KL и OA равны.

Answer 1

Обозначим OA=OK+AK=1, ∠AOU=∠AIO=a и R - точка пересечения KL и OU. Тогда AU=tg(a), OI=ctg(a), AK/OK=AE/OE=tg(a), откуда OK=1/(1+tg(a)) и AK=tg(a)/(1+tg(a)). KR/AU=OK/OA, т.е. KR=tg(a)/(1+tg(a)) и RL/OI=AK/OA, т.е. RL=1/(1+tg(a)). Значит, KL=KR+RL=1.

Answer 2

Для доказательства равенства отрезков KL и OA, давайте воспользуемся геометрическими свойствами данной трапеции и биссектрисой угла OEA.

1. Поскольку OIUA - трапеция, то OI параллельна UA.
2. Из условия известно, что сторона UA меньше стороны OI, и угол O прямой, поэтому OI длиннее UA.
3. Следовательно, OI находится выше UA.

Теперь рассмотрим биссектрису угла OEA и её пересечение с отрезком OA в точке K.

4. Так как угол OEA делится биссектрисой на два равных угла, то угол OEK равен углу KEA.

5. Также, угол KEA равен углу KLA (поскольку KA || OI и AE пересекает KL), и угол OEK равен углу KLA.

6. Теперь у нас есть следующее: угол OEK равен углу KLA, и угол OKE также равен углу LKA (по теореме об углах при параллельных линиях).

7. Значит, треугольник OKE подобен треугольнику AKL по углам.

Теперь докажем равенство отрезков KL и OA:

8. Мы знаем, что треугольники OKE и AKL подобны, а значит, соответствующие их стороны пропорциональны. То есть, можно записать отношение длины отрезка KL к длине отрезка OA:

   KL / OA = KE / AE

9. Осталось заметить, что KE + AE = KA = OA, так как K - это точка пересечения биссектрисы и OA, и AE - это отрезок, который примыкает к KA. Поэтому KE + AE равно OA.

10. Теперь мы можем переписать отношение из пункта 8 следующим образом:

KL / OA = KE / (OA - KE)

11. Заметим, что KE / (OA - KE) равно тому же отношению, что и KL / OA, так как KE / (OA - KE) = KL / OA.

Таким образом, KL / OA равно KL / OA, что означает, что KL и OA равны. Доказано.