Question

В равнобедренном треугольнике угол при вершине, которая лежит против основы, равна α, а высота, проведенная к основанию, равна h. Найдите стороны треугольника.

Answer 1

Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная из вершины к основанию, является медианой и биссектрисой. Следовательно мы имеем прямоугольный треугольник, в котором один из катетов есть высота h, угол, прилежащий к высоте а/2, другой катет есть половина основания, а гипотенуза - боковая сторона.
Пусть боковая сторона - с, а основание - b.
Тогда с=h*cos a/2, b=2*(h*sin a/2).
Или с=h*V(1+cos a)/2, b=2*(h*V(1-cos a)/2, где V - корень квадратный.

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться геометрическими свойствами равнобедренных треугольников. В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны между собой, поэтому у нас есть два угла α и два угла с основанием, которые также равны между собой.

Мы можем разбить треугольник на два равных прямоугольных треугольника, используя высоту h. Таким образом, получаем два равных треугольника со следующими углами:

1. Прямоугольный треугольник с углом α/2 при вершине и углом 90 градусов у основания.
2. Прямоугольный треугольник с углом α/2 при вершине и углом 90 градусов у основания.

Теперь мы можем использовать тангенс угла α/2, чтобы найти стороны треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике можно найти, разделив противолежащий катет на прилежащий катет. В данном случае, высота h является противолежащим катетом, и половина основания треугольника (половина боковой стороны) будет прилежащим катетом.

Таким образом, тангенс α/2 равен:

tan(α/2) = h / (половина основания)

Для нахождения стороны основания, положим ее равной b. Тогда:

tan(α/2) = h / (b/2)

Решив это уравнение относительно b, получим:

b = 2h / tan(α/2)

Теперь у нас есть сторона основания b, и мы знаем, что две стороны треугольника равны между собой, так как это равнобедренный треугольник. Так что стороны треугольника равны:

a = b c = b

Таким образом, стороны равнобедренного треугольника равны:

a = b = c = 2h / tan(α/2)

Answer 3

В равнобедренном треугольнике две стороны равны между собой, обозначим их как a. Угол при вершине треугольника равен α.

Высота треугольника, проведенная к основанию, разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника. Таким образом, мы можем использовать тангенс угла α, чтобы найти отношение стороны к высоте:

tan(α) = a / (h / 2)

Мы делим h на 2, потому что высота разделяет треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Теперь мы можем выразить a в терминах α и h:

a = (h / 2) * tan(α)

Таким образом, стороны треугольника равны:

a = (h / 2) * tan(α) a = (h / 2) * tan(α)

Обратите внимание, что a - это длина одной из сторон треугольника, и она равна двум сторонам, так как треугольник равнобедренный.