Question

Через середину диагонали AC трапеции ABCD перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая основания ad и bc в точках M и T. Докажите что четырехугольник ATCM-ромб и найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник ATCM, если AT=10 см, AC=16 см

Answer 1

AO=CO, ∠AOM=∠COT=90°
∠MAO=∠TCO (нактерст лежащие при параллельных основаниях трапеции)
△AOM=△COT (по стороне и прилежащим к ней углам)
OM=OT
Диагонали ATCM перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, ATCM - ромб.

В ромб можно вписать окружность (так как суммы его противоположных сторон равны). Центр вписанной окружности ромба - точка пересечения диагоналей (так как диагонали являются биссектрисами его углов). Радиус вписанной окружности - перпендикуляр из центра на сторону (OH⊥AT).

AO=AC/2=16/2=8
△AOT - египетский треугольник (3:4:5), множитель 2:
OT=3*2=6 (AO=4*2; AT=5*2)

Высота из прямого угла делит треугольник на подобные друг другу и исходному.
△OHT~△AOT, k=OT/AT=0,6
OH=AO*k =8*0,6 =4,8

------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам - признак параллелограмма. Диагонали параллелограмма перпендикулярны - признак ромба.

Answer 2

Для начала докажем, что четырехугольник ATCM является ромбом.

1. Мы знаем, что AT - это диагональ трапеции ABCD, которая соединяет две смежные вершины. По определению ромба, его диагонали перпендикулярны между собой и делят друг друга пополам. Таким образом, диагонали AT и AC перпендикулярны друг другу и пересекаются в их точке пересечения, которую мы обозначим как O.

2. Поскольку диагональ AT пересекает диагональ AC в точке O и делит их пополам, то AO = OC и TO = OC.

3. Теперь рассмотрим треугольник TOC. Мы знаем, что TO = OC, и у нас есть угол TOC, который равен 90 градусам, так как TO перпендикулярно AC в середине. Это означает, что треугольник TOC является прямоугольным и равнобедренным (по свойствам ромба).

4. Поскольку TO = OC, то у нас есть два равных угла: TOC = OTC. Сумма углов в треугольнике TOC равна 180 градусам, поэтому TOC = 90 градусов, и TOC = OTC = 45 градусов.

Таким образом, у нас есть ромб ATCM, где TOC = 45 градусов, и каждый угол ромба равен 90 градусов. Теперь давайте найдем радиус окружности, вписанной в этот ромб.

5. Мы знаем, что вписанная окружность в ромб касается его сторон в серединах этих сторон. Поэтому, чтобы найти радиус вписанной окружности, нам нужно найти половину длины одной из сторон ромба ATCM.

6. Диагонали ромба разделяют его на четыре равных треугольника. Поэтому каждая из сторон ромба равна половине длины диагонали AT.

7. Длина диагонали AT равна половине длины AC, так как AT делит AC пополам.

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности:

Радиус вписанной окружности = (1/2) * (1/2) * AC = (1/4) * 16 см = 4 см.

Итак, радиус окружности, вписанной в четырехугольник ATCM, равен 4 см, и четырехугольник ATCM является ромбом.