Question

Срочно! 1.В треугольнике ABC проведена биссектриса AA1. На стороне AB выбрана такая точка K, что BK=BA1. Биссектриса угла C пересекает отрезок KA1 в точке P. Докажите, что PA=PA1

Answer 1

//////////////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства PA = PA1 в данном треугольнике ABC рассмотрим два треугольника: треугольник BKP и треугольник A1CP.

Из условия известно, что BK = BA1. Рассмотрим также угол BKP и угол A1CP. Поскольку P лежит на биссектрисе угла C, то угол BKP и угол A1CP равны, то есть:

∠BKP = ∠A1CP ...(1)

Также, из условия BK = BA1, у нас есть:

BK = BA1 ...(2)

Рассмотрим теперь треугольник ABC. Поскольку AA1 является биссектрисой угла A, мы знаем, что:

∠BAA1 = ∠CAA1 ...(3)

Также, из условия BK = BA1, у нас есть:

∠BKA = ∠BA1A ...(4)

Из (3) и (4) следует:

∠BKP = ∠A1CP ...(5)

Из (1) и (5) мы получаем, что у треугольников BKP и A1CP равны два угла, а значит, эти треугольники подобны.

Теперь рассмотрим отношение сторон треугольников BKP и A1CP:

BK / BA1 = BP / PA1 ...(6)

Из (2) и (6) получаем:

1 = BP / PA1

Следовательно, BP = PA1, что означает, что PA = PA1.