Question

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC провели биссектрису AL. На продолжении стороны AC за точку C отметили точку E так, что CE=CL. Докажите, что AL=LE

Answer 1

Всё правельно учитель проверял

Answer 2

Давайте рассмотрим равнобедренный треугольник ABC подробнее.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то у него равны два угла: угол BAC и угол BCA. Пусть угол BAC = угол BCA = α.

Теперь рассмотрим биссектрису AL. Она делит угол BAC пополам, поэтому угол BAL = угол CAL = α/2.

Теперь мы знаем, что угол BAL = угол CAL = α/2 и угол BCA = α. Также нам известно, что угол ABC = угол ACB, так как треугольник равнобедренный. Поэтому угол BAC + угол ABC + угол ACB = 180 градусов (сумма углов треугольника). Мы можем записать это как:

α + α/2 + α/2 = 180°.

Упростим это уравнение:

2α = 180°, α = 90°.

Таким образом, мы установили, что угол BAC равен 90 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник ACE. Мы знаем, что CE = CL, и у нас есть вертикальные углы в треугольнике ABC, так как угол BAC = 90 градусов. Поэтому угол CEA = угол CAL = α/2.

Теперь мы видим, что угол AEC + угол CEA + угол ACE = 180 градусов (сумма углов треугольника). Мы можем записать это как:

90° + α/2 + α/2 = 180°.

Упростим это уравнение:

90° + α = 180°, α = 90°.

Таким образом, угол AEC также равен 90 градусов.

Теперь, поскольку у нас есть два прямых угла (угол BAC и угол AEC), мы видим, что треугольник ALE прямоугольный с уголом в вершине A равным 90 градусов. Таким образом, AL = LE, и утверждение доказано.