Question

В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC, и CA, в точках P, Q и R. Найдите AP, если AB=82, BC=65, CA=41

Answer 1

Так как длины отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, то AR = AP, BP = BQ, CQ = CR.

Для удобства обозначим попарно равные отрезки AR = AP = X, BP = BQ = Y, CQ = CR = Z.

Тогда:

АВ = Х + Y = 10. (1).

AC = X + Z = 5. (2).

BC = Y + Z = 12. (3).

Решим систему их трех уравнений методом сложения.

Вычтем из первого уравнения второе.

(X + Y) – (X +Z) = 10 – 5.

Y – Z = 5.

Прибавим третье уравнение к последнему.

(Y + Z) + (Y – Z) = 12 + 5.

2 * Y = 17.

Y = 17 / 2 = 8,5 cm.  

Подставим значение Y и найдем X и Z.

Х + 8,5 = 10.

Х = 10 – 8,5 = 1,5 см.

Z = 12 – Y = 12 – 8,5 = 3,5 cм.

Тогда: AR = AP = 1,5 см, BP = BQ = 8,5 см, CQ = CR = 3,5 см.

Ответ: AR = AP = 1,5 см, BP = BQ = 8,5 см, CQ = CR = 3,5 см.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться тем фактом, что касательные, проведенные к окружности из точки касания, равны по длине. Обозначим длины отрезков, на которые стороны треугольника делятся точками касания:

• Пусть $AP = AQ = x$.
• Пусть $BR = BQ = y$.
• Пусть $CR = CP = z$.

Теперь мы можем составить систему уравнений, используя факт о том, что касательные равны:

$$\begin{align*} x + y &= 82 \quad \text{(1)} \\ y + z &= 65 \quad \text{(2)} \\ z + x &= 41 \quad \text{(3)} \end{align*}$$

Теперь сложим все три уравнения:

$2(x + y + z) = 82 + 65 + 41$

$2(x + y + z) = 188$

$x + y + z = 94$

Теперь мы можем подставить это значение обратно в каждое уравнение:

$$\begin{align*} x + y &= 82 \quad \text{(1)} \\ y + z &= 65 \quad \text{(2)} \\ z + x &= 41 \quad \text{(3)} \end{align*}$$

Теперь у нас есть система трех уравнений:

$$\begin{align*} x + y &= 82 \quad \text{(1)} \\ y + z &= 65 \quad \text{(2)} \\ z + x &= 41 \quad \text{(3)} \\ x + y + z &= 94 \quad \text{(4)} \end{align*}$$

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения $x$, $y$, и $z$. Однако, для нашей конкретной задачи, нас интересует только значение $x$, так как это длина отрезка $AP$.