Question

В конус вписан шар. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания конуса, если отношение объема конуса к объему вписанного шара равно 9/4, а отношение радиуса шара к радиусу основания конуса меньше 3/5.

Answer 1

▪Рассмотрим Δ ABC - осевое сечение данного конуса ( равнобедренный треугольник ) , тогда точка O - центр вписанного шара , точка Н - центр основания конуса, ОН = OM = ON = r , AH = HC = R , ∠А = а - искомый угол между образующей и основанием конуса.

▪Точка О является центром вписанной окружности в Δ АВС ⇒  точка О - точка пересечения биссектрис  ⇒  ∠ВАО = ∠НАО = а/2

▪В  ΔAHB:  BH = AH•tga = R•tga

   B  ΔHAO:  OH = AH•tg(a/2) = R•tg(a/2)

▪ Vконуса  = ( п•AH²•BH )/3 = ( пR²•R•tga )/3 = ( пR³tga )/3

    Vшара = ( 4п•ОН³ )/3 = (  4п•R³•tg³(a/2)  )/3

▪ Vконуса / Vшара = tga / 4tg³(a/2)  ;    tga = 2tg(a/2) /  1 - tg²(a/2)  ⇒   Vконуса / Vшара = 2tg(a/2) /  4tg³(a/2)•( 1 - tg²(a/2)  )  = 1 / 2tg²(a/2) - 2tg⁴(a/2)  = k

  2k•tg⁴(a/2) - 2k•tg²(a/2) + 1 = 0

  D = ( 2k )² - 4•2k = 4k² - 8k = 4•( k² - 2k )

  4•( k² - 2k ) ≥ 0  ⇒  k ≥ 2

  tg²(a/2) = ( 2k +- 2√(k² - 2k) )/4k = ( k +- √(k² - 2k) )/ 2k  ⇒  k = 9/4  ⇒

  tg₁²(a/2) = 2/3  ⇒  tg(a/2) = √(2/3) ≈ 0,82

  tg₂²(a/2) = 1/3  ⇒   tg(a/2) = √(1/3) ≈ 0,58

Из условия следует, что tg(a/2) = r / R  < 0,6  ⇒  tg(a/2) = √3/3  ⇒   a/2 = п/6  ⇒   а = п/3 = 60°

ΔАВС - равносторонний ,  AB = BC = AC  ⇒  L = 2R = D ,  r = √3R/3

ОТВЕТ: 60°

Answer 2

Обозначим следующие величины:

• $r$ - радиус основания конуса,
• $R$ - радиус вписанного шара,
• $h$ - высота конуса.

Известно, что объем конуса $V_{\text{конуса}}$ и объем вписанного шара $V_{\text{шара}}$ связаны следующим образом: $\frac{V_{\text{конуса}}}{V_{\text{шара}}} = \frac{9}{4}.$

Для конуса объем выражается как $V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, а для вписанного шара как $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi R^3$.

Таким образом, у нас есть следующее уравнение: $\frac{\frac{1}{3} \pi r^2 h}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{9}{4}.$

Радиус вписанного шара связан с радиусом основания конуса следующим образом: $\frac{R}{r} < \frac{3}{5}.$

Теперь найдем связь между $R$ и $h$ в конусе. Рассмотрим треугольник, вершина которого соответствует вершине конуса, а основание - центр вписанного шара и точка касания шара с основанием конуса. Этот треугольник прямоугольный.

Полусумма длин оснований треугольника равна $R$, а высота треугольника равна $r$, так как это расстояние от вершины конуса до точки касания сферы с основанием.

Используем теорему Пифагора в этом треугольнике: $R^2 = \left(\frac{r}{2}\right)^2 + h^2.$

Теперь мы имеем два уравнения: $\frac{\frac{1}{3} \pi r^2 h}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{9}{4},$ $R^2 = \left(\frac{r}{2}\right)^2 + h^2.$

Мы хотим найти угол $\theta$ между образующей конуса и плоскостью основания. Угол $\theta$ можно выразить через $h$ и $r$ следующим образом: $\tan \theta = \frac{R}{h},$ $\theta = \arctan\left(\frac{R}{h}\right).$

Теперь решим систему уравнений для $R$ и $h$, а затем найдем $\theta$.

1. Из первого уравнения найдем $R$ через $r$ и $h$: $\frac{\frac{1}{3} \pi r^2 h}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{9}{4},$ $R^3 = \frac{4}{9} \cdot \frac{r^2 h}{r^2},$ $R = \left(\frac{4}{9}\right)^{1/3} h^{1/3}.$

2. Подставим $R$ из уравнения выше во второе уравнение: $R^2 = \left(\frac{r}{2}\right)^2 + h^2,$