Question

[УМОЛЯЮ!] В равнобедренном треугольнике ABC (AB=AC) отрезок А_1 С_1, соединяющий основания высот АА_1 и СС_1, в 4 раза меньше боковой стороны. Во сколько раз длина окружности, описанной около треугольника, больше длины окружности, вписанной в него?

Answer 1

                                   Решение : ///////////////////

Answer 2

Для нахождения отношения длины окружности, описанной вокруг треугольника, к длине окружности, вписанной в него, мы можем воспользоваться следующими фактами:

1. Вписанная окружность в треугольник равнобедренного треугольника делит каждый угол при вершине на два равных угла.

2. Пусть длина боковой стороны треугольника ABC равна L, а длина отрезка А₁С₁ равна 1/4L (так как он в 4 раза меньше боковой стороны).

3. Рассмотрим половину одного из треугольников, образованных вписанной окружностью и боковой стороной. Этот треугольник будет прямоугольным, и его катеты будут равны 1/4L и L/2, так как высота треугольника, проведенная к основанию, является радиусом вписанной окружности.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы этого треугольника:

(L/2)² + (1/4L)² = гипотенуза²

Упростим уравнение:

(L²/4) + (L²/16) = гипотенуза²

Складываем дроби:

(4L²/16) + (L²/16) = гипотенуза²

(5L²/16) = гипотенуза²

Гипотенуза² = 5L²/16

Гипотенуза = √(5L²/16)

Теперь, чтобы найти периметр треугольника, мы можем сложить длины всех его сторон:

Периметр = L + L + 2√(5L²/16) = 2L + √(5L²/4)

Теперь мы можем найти длину окружности, вписанной в треугольник, используя формулу:

Длина окружности = 2π * радиус

Радиус вписанной окружности равен половине периметра треугольника, деленному на его полупериметр (s):

Радиус вписанной окружности = (2L + √(5L²/4)) / (2 * s)

где s = (2L + √(5L²/4)) / 2

Теперь мы можем найти длину вписанной окружности:

Длина вписанной окружности = 2π * [(2L + √(5L²/4)) / (2 * s)]

= π * [(2L + √(5L²/4)) / (2 * s)]

= π * [(2L + √(5L²/4)) / (2 * (2L + √(5L²/4))/2)]

= π * [(2L + √(5L²/4)) / (2L + √(5L²/4))]

= π

Теперь мы знаем длину вписанной окружности. Для нахождения длины окружности, описанной вокруг треугольника, мы можем воспользоваться формулой для окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника:

Длина окружности = 2π * радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности равен половине длины стороны треугольника:

Радиус описанной окружности = L/2

Теперь мы можем найти длину окружности, описанной вокруг треугольника:

Длина окружности = 2π * (L/2) = π * L

Итак, длина окружности, описанной вокруг треугольника, равна πL, а длина вписанной окружности равна π. Теперь найдем отношение длины окружности, описанной вокруг треугольника, к длине вписанной окружности:

Отношение = (πL) / π = L

Таким образом, длина окружности, описанной около треугольника, в L раз больше длины окружности, вписанной в него.