Question

В треугольнике КВЕ точка М лежит на стороне КЕ, причём угол КМВ-острый. Докажите, что ВЕ>ВМ.

Answer 1

Так как ∠KMB - острый, то смежный с ним ∠BME будет тупым.

Рассмотрим ΔBME - тупоугольный

В тупоугольном треугольнике один угол тупой, а два остальные - острые.

Против большего угла лежит большая сторона, естественно, тупой угол больше любого острого. ==> BM - наибольшая сторона треугольника BME (она лежит напротив тупого угла)

BM лежит напротив ∠BEM - острый (из доказанного) ==> BE > BM

Ч. т. д.

Answer 2

Для доказательства того, что ВЕ > ВМ, мы можем воспользоваться теоремой о неравенстве в треугольнике, которая гласит, что в треугольнике любая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности.

В данном случае у нас есть треугольник КВМ с точкой М на стороне КЕ, и угол КМВ острый. Обозначим длины сторон следующим образом:

• КМ = а (длина стороны КМ)
• ВМ = b (длина стороны ВМ)
• ВК = c (длина стороны ВК)
• КЕ = d (длина стороны КЕ)
• МЕ = e (длина стороны МЕ)

Теперь мы знаем, что угол КМВ острый, поэтому:

a^2 + b^2 > c^2 (теорема Пифагора для треугольника КВМ)

Также, по теореме о неравенстве в треугольнике, мы можем утверждать, что:

a + b > c и c + e > d

Теперь давайте добавим эти два неравенства:

(a + b) + (c + e) > c + d

Используя ассоциативность сложения, мы можем переписать это неравенство следующим образом:

a + b + c + e > c + d

Заметьте, что слева у нас есть сумма всех сторон треугольника КМЕ, а справа - сумма сторон треугольника КЕ. Таким образом, мы можем сделать вывод, что:

КМ + МЕ > КЕ

Поскольку КМ + МЕ равно длине стороны ВМ (b), а КЕ равно длине стороны ВЕ, то мы получаем:

b > ВЕ

Итак, мы доказали, что ВЕ > ВМ, как и требовалось.