Question

продовження бічних сторін AB і CD трапеції ABCD перетинаються в точці K,причому AB:BK=2:5.AD- більша основа трапеції.Знайдіть довжину основи BC,якщо різниця основ трапеції дорівнює 10

Answer 1

У треугольников AKD и BKC угол К общий и ∠KBC = ∠KAD как соответственные углы при BC || AD и секущей AK. Следовательно, ΔAKD ~ ΔBKC по двум углам. Из подобия треугольников следует, что AK/BK = AD/BC

$\dfrac{AB+BK}{BK}=\dfrac{BC+10}{BC}~~~\Rightarrow~~~\dfrac{AB}{BK}+1=\dfrac{BC+10}{BC}~~\Rightarrow~~\dfrac{2}{5}+1=1+\dfrac{10}{BC}\\ \\ \dfrac{10}{BC}=\dfrac{2}{5}~~~\Rightarrow~~~ BC=\dfrac{10\cdot 5}{2}=25$

Ответ: 25.

Answer 2

Спочатку давайте позначимо деякі довжини:

1. Нехай AB = 2x, оскільки відношення AB до BK дорівнює 2 до 5.
2. Також нам відомо, що різниця основ трапеції дорівнює 10, тобто BC - AD = 10.

Тепер ми можемо виразити інші сторони трапеції:

1. BK = 5x, оскільки AB : BK = 2 : 5.
2. CK = 2x, оскільки CK - BC = BK - AB = 5x - 2x = 3x.

Також ми знаємо, що CD - AD = BC - AD = 10, але ми також можемо виразити CD через CK:

CD = CK + KD = 2x + KD.

Тепер ми маємо дві рівності, які містять різницю основ трапеції:

1. BC - AD = 10
2. CD - AD = 10

Підставимо значення CD з другого рівняння в перше:

(2x + KD) - AD = 10

Тепер нам потрібно виразити KD через x. Ми можемо використовувати відношення AB до BK:

AB : BK = 2 : 5

2x : 5x = 2 : 5

Це означає, що KD дорівнює 2/5 від AD:

KD = (2/5) * AD

Тепер підставимо це значення KD в наше рівняння:

(2x + (2/5) * AD) - AD = 10

Тепер розглянемо рівняння та розв'яжемо його відносно AD:

2x + (2/5) * AD - AD = 10

(2/5) * AD - AD = 10 - 2x

(2/5 - 1) * AD = 10 - 2x

(2/5 - 5/5) * AD = 10 - 2x

(-3/5) * AD = 10 - 2x

Тепер розділимо обидві сторони на -3/5, щоб виразити AD:

AD = (10 - 2x) / (-3/5)

Тепер ми можемо підставити це значення AD в наше перше рівняння, щоб знайти BC:

BC - AD = 10

BC - [(10 - 2x) / (-3/5)] = 10

Тепер розв'яжемо це рівняння відносно BC:

BC = 10 + [(10 - 2x) / (-3/5)]

BC = 10 - 5(10 - 2x)/3

BC = 10 - (50 - 10x)/3

Домножимо обидві сторони на 3, щоб позбавитися від дробів:

3 * BC = 30 - 50 + 10x

3 * BC = -20 + 10x

Тепер ділимо обидві сторони на 10:

(3/10) * BC = (-20 + 10x) / 10

(3/10) * BC = -2 + x

Тепер підсумуємо обидві сторони на 2:

(3/10) * BC + 2 = x

Тепер ми знаємо значення x, і ми можемо підставити його в рівняння для BC:

BC = 10 - (50 - 10x)/3 BC = 10 - (50 - 10((3/10) * BC + 2))/3

Тепер розв'яжемо це рівняння для BC:

BC = 10 - (50 - 3 * BC - 20)/3

Знайдемо спільний знаменник:

BC = 10 - (30 - 3 * BC)/3

Помножимо обидві сторони на 3, щоб позбутися від дробів:

3 * BC = 30 - 30 + 3 * BC

Зведемо терміни зі змінною BC на одній стороні:

0 = 0

Отже, отримали, що 0 = 0, що є тавтологією. Це означає, що рівняння для BC не має єдиного розв'язку, і можливі різні значення для довжини основи BC. Іншими словами, довжина основи BC не визначена однозначно в цьому завданні, і вона може приймати різні значення в залежності від значення x.