Question

Найди радиус окружности, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5, а длина хорды равна 24.

Answer 1

Пусть дана окружность с центром O и хорда AB = 24.

AO = BO, как радиусы одной окружности;

△AOB - равнобедренный т.к. AO=BO,

• Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, является так же и медианой.

Пусть OH⊥AB, тогда OH - медиана △AOB.

OH = 5, как расстояние от O до AB.

HB = HA = AB:2 т.к. H - основание медианы;

HB = 24:2 = 12.

△OHB - прямоугольный (∠H=90°),

• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (т. Пифагора).

BO² = OH²+HB²;

BO² = 5²+12²;

BO² = 25+144;

BO² = 169 = 13²;

BO = 13 - радиус окружности.

Ответ: 13.

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой о расстоянии от центра окружности до хорды. Если $d$ - расстояние от центра окружности до хорды, $r$ - радиус окружности, и $l$ - длина хорды, то справедливо следующее соотношение:

$d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}$

В данной задаче $d = 5$ и $l = 24$. Подставляем известные значения в уравнение и решаем относительно $r$:

$5 = \sqrt{r^2 - 12^2}$

$5 = \sqrt{r^2 - 144}$

$5^2 = r^2 - 144$

$r^2 = 169$

$r = 13$

Таким образом, радиус окружности равен 13 единицам длины.