Question

плоскости двух сечений цилиндра проходящих через одну образующую. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площади сечений равны 12см² и 15см², а угол между плоскостями сечений 60°

Answer 1

Ответ: S(бок) =$\frac{30\pi \sqrt{7} }{4}$ см²

Объяснение:

Обозначим высоту цилиндра (образующую) как h

Тогда S(НВСК_=НВ*h (1)

а S(ABCD) = AB*h (2). Разделим одно уравнение на другое и получим,

$\frac{HB}{AB} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ Значит НВ = $\frac{5}{4}$АВ

Тогда  по теореме косинусов из треугольника НАВ

НА² = АВ²+НВ²-2*АВ*НВ*cos60°

НА²=$\frac{25}{16}$НВ² +НВ²-2*$\frac{5}{4}$*НВ²*cos60°

НА²=$\frac{21}{16}$НВ  Отсюда НА=$\frac{\sqrt{21}}{4}$НВ

По теореме синусов

$\frac{HA}{2sin60} = r$

Значит r= $\frac{\sqrt{7} }{4}$НВ

Тогда S(бок) = 2πrh = 2π$\frac{\sqrt{7} }{4}$НВ*h но  НВ*h=15 см²

S(бок) = $\frac{30\pi\sqrt{7} }{4}$ см²

Answer 2

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра, используем информацию о площадях двух сечений и угле между плоскостями сечений.

1. Площади двух сечений цилиндра равны 12 см² и 15 см².

Площадь сечения цилиндра можно представить как площадь двух треугольников, так как плоскости сечений проходят через одну образующую цилиндра. Пусть A и B - это площади двух треугольников, образованных этими сечениями.

2. Угол между плоскостями сечений равен 60°.

Теперь найдем площадь одного треугольника, зная его площадь (S) и угол между сторонами (θ):

S = (1/2) * a * b * sin(θ),

где a и b - длины сторон треугольника.

Мы знаем, что S1 = 12 см² и S2 = 15 см², и у нас есть значение угла θ = 60°. Пусть a1 и b1 будут сторонами первого треугольника (для S1), а a2 и b2 - сторонами второго треугольника (для S2).

Для первого треугольника (S1): 12 = (1/2) * a1 * b1 * sin(60°),

Для второго треугольника (S2): 15 = (1/2) * a2 * b2 * sin(60°).

Мы знаем, что sin(60°) = √3 / 2. Подставим это значение и решим уравнения:

Для первого треугольника: 12 = (1/2) * a1 * b1 * (√3 / 2), 12 = (√3 / 4) * a1 * b1.

Для второго треугольника: 15 = (1/2) * a2 * b2 * (√3 / 2), 15 = (√3 / 4) * a2 * b2.

Теперь мы можем найти значения a1 * b1 и a2 * b2:

a1 * b1 = 12 * (4 / √3) = 16√3 см², a2 * b2 = 15 * (4 / √3) = 20√3 см².

Теперь мы знаем площади обоих треугольников, и эти площади равны площадям двух сечений цилиндра.

Так как боковая поверхность цилиндра состоит из двух сечений, то общая площадь боковой поверхности цилиндра (S) будет равна сумме площадей сечений:

S = S1 + S2 = (a1 * b1) + (a2 * b2) = (16√3 см²) + (20√3 см²) = 36√3 см².

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна 36√3 квадратных сантиметров.