Question

Срочно!В треугольнике провели две высоты.Их продолжения пересекают его описанную окружность в 2-х точках.Докажите, что эти точки равноудалены от 3 вершины треугольника

Answer 1

Ответ:

================================================

Объяснение:

Answer 2

Давайте докажем это утверждение.

Пусть у нас есть треугольник ABC, в котором проведены две высоты, выходящие из вершин A и B, и они пересекают описанную окружность треугольника в точках P и Q, как показано на рисунке:

cssCopy code
      C
       /\
      /  \
  P /    \ Q
    \    /
     \  /
      \/
      A B

Мы хотим доказать, что точки P и Q равноудалены от вершины C.

Для начала, заметим, что треугольник ABC - остроугольный, так как прямоугольный треугольник не имеет описанной окружности. Это означает, что высоты, проведенные из вершин A и B, пересекаются внутри треугольника (не на его продолжении). Пусть точка пересечения высот обозначается как H.

Теперь у нас есть два треугольника: CHA и CHB. Они имеют общий катет CH (высота треугольника ABC) и общий гипотенузу CA и CB соответственно.

Из свойства прямоугольных треугольников мы знаем, что в треугольнике CHA и CHB:

1. CHA: CH^2 = CA * HA
2. CHB: CH^2 = CB * HB

Поскольку CH^2 одинаково в обоих уравнениях (так как CH - общая сторона), мы можем приравнять CA * HA и CB * HB:

CA * HA = CB * HB

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что две высоты HA и HB пересекаются в точке H внутри треугольника. Значит, H - ортоцентр треугольника ABC.

Следовательно, точки P и Q, которые являются пересечениями высот с описанной окружностью, лежат на одной и той же высоте CH, которая проходит через ортоцентр H. Это означает, что они равноудалены от вершины C, так как оба находятся на одной и той же высоте.