Question

Даю 80 баллов. Отрезок CH - высота прямоугольного треугольника ABC. Площади треугольников ACH и BCH равны 4 и 6 соответственно. Найдите длину гипотенузы AB.

Answer 1

Отрезок CH - высота прямоугольного треугольника ABC. Площади треугольников ACH и BCH равны 4 и 6 соответственно. Найдите длину гипотенузы AB.

Объяснение:

По свойству высоты прямоугольного треугольника СН²= АН*НВ (1)

S(CАН)=4=0,5СН*АН

S(СВН)=6=0,5СН*ВН. Умножим данные равенства

24=0,25 СН²*АН*ВН .

96=СН²*СН²

СН⁴=96

СН= $\sqrt[4]{96}$= $2\sqrt[4]{6}$

Т.к. 4=0,5СН*АН ⇒ АН=$\frac{8}{2\sqrt[4]{6} }$ =$\frac{4}{\sqrt[4]{6} }$

6=0,5СН*ВН ⇒ ВН=$\frac{12}{2\sqrt[4]{6} }$ =$\frac{6}{\sqrt[4]{6} }$.

АВ=АН+ВН= $\frac{10}{\sqrt[4]{6} }$

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу.

Пусть длина гипотенузы AB равна "c", а длины отрезков CH и BH равны "h" и "x" соответственно. Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника: ACH и BCH.

Мы знаем, что площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = (основание * высота) / 2

Для треугольника ACH: Площадь ACH = (AC * CH) / 2 = (c * h) / 2

Для треугольника BCH: Площадь BCH = (BC * CH) / 2 = (c * x) / 2

Из условия задачи известно, что площадь ACH равна 4 и площадь BCH равна 6:

(c * h) / 2 = 4 (c * x) / 2 = 6

Теперь мы можем выразить h и x через c:

h = (8 / c) x = (12 / c)

Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. h = (8 / c)
2. x = (12 / c)

Теперь нам нужно использовать теорему Пифагора для треугольника ABC:

c^2 = h^2 + x^2

Подставим значения h и x из уравнений (1) и (2):

c^2 = (8 / c)^2 + (12 / c)^2

c^2 = (64 / c^2) + (144 / c^2)

Теперь объединим дроби с общим знаменателем:

c^2 = (64 + 144) / c^2

c^2 = 208 / c^2

Умножим обе стороны на c^2:

c^4 = 208

Теперь извлечем квадратный корень:

c^2 = √208

c ≈ √208

c ≈ 14.42 (округлено до двух знаков после запятой)

Итак, длина гипотенузы AB примерно равна 14.42 единицам.