Question

Треугольник ΔABC - равнобедренный,AB=BC. На продолжении стороны АС за точку C выбрана точка D, такая, что ∠ABD=90∘.Из множества точек E, обладающих тем свойством, что точка D принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку CE, выбрали ту, которая находится на максимальном расстоянии от точки B. Найдите угол ∠CED, если известно, что ∠ABC=80∘. Ответ приведите в градусах, при необходимости округлив до целого числа.

Answer 1

Ответ:

∠СED = 20°.

Объяснение:

Множество точек Е, удовлетворяющее условию нахождения точки D на серединном перпендикуляре к отрезку СЕ - это все точки окружности радиуса СD. Тогда все хорды этой окружности, исходящие из точки С, будут перпендикулярны радиусу этой окружности и делятся этим перпендикуляром пополам, то есть условие выполняется. Тогда максимальное расстояние ВЕ будет при расположении точки Е на пересечении  прямой ВD и окружности, так как из всех секущих из точки В к окружности с центром в точке D максимальную длину имеет секущая, проходящая через центр этой окружности.

В равнобедренном треугольнике АВС ∠ВАС = (180-80):2 = 50°.

В прямоугольном треугольнике АВD ∠ВDА = 90-50 = 40° =>

Это внешний угол равнобедренного треугольника CDE, тогда, поскольку он равен сумме двух внутренних углов треугольника (∠DCE = ∠CED), не смежных с ним,

∠CED = 40:2 = 20°.

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами геометрии.

1. Поскольку треугольник ABC равнобедренный и AB = BC, то ∠ABC = ∠BCA. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°. Значит, ∠CAB = 180° - 2∠ABC = 180° - 2*80° = 20°.

2. Так как ∠ABD = 90°, треугольник ABD - прямоугольный, и мы знаем, что ∠ABC = 80° и ∠CAB = 20°. Значит, ∠BAD = (180° - 80° - 20°) = 80°.

3. Теперь давайте рассмотрим треугольник BCD. Мы уже знаем, что ∠BAD = 80° и ∠ABD = 90°, следовательно, ∠BDA = 180° - 80° - 90° = 10°. Также, так как BD является медианой в треугольнике ABC, то точка D делит сторону AC пополам, и, следовательно, ∠BCD = ∠ACD = 20°.

4. Теперь, чтобы найти угол ∠CED, мы должны рассмотреть треугольник CDE. Известно, что ∠BCD = 20°, и точка D принадлежит серединному перпендикуляру к CE, поэтому ∠CDE = ∠CED.

5. Теперь рассмотрим треугольник CED. У нас есть два угла: ∠CDE и ∠CED, и нам известно, что ∠BCD = 20° и ∠CDE + ∠CED = 90° (так как ∠BCD + ∠CDE + ∠CED = 180° в треугольнике CED). Мы хотим найти угол ∠CED.

Из этих двух уравнений можно выразить ∠CED:

∠CDE + ∠CED = 90° ∠CED = 90° - ∠CDE

Так как ∠BCD = 20°, то ∠CDE = 180° - 20° - 20° = 140°.

Теперь мы можем найти угол ∠CED:

∠CED = 90° - ∠CDE = 90° - 140° = -50°

Однако угол не может быть отрицательным, поэтому мы делаем вывод, что в данной ситуации угол ∠CED равен 0°.

Итак, угол ∠CED равен 0°.