Question

Вершина параллелограмма равноудалена от середин двух его сторон. Докажите, что этот параллелограмм – ромб

Answer 1

Если вершина A равноудалена от середин сторон AB и AD, то очевидно: половины смежных сторон равны => смежные стороны равны => параллелограмм с равными смежными сторонами - ромб.

L - середина BC, M - середина CD, AL=AM.

Пусть K - середина AB, тогда AKCM - параллелограмм (т.к. AK=CM, AK||CM).

AL=AM=CK

В треугольнике ABC медианы равны - треугольник равнобедренный, AB=BC.

Параллелограмм с равными смежными сторонами - ромб.

Answer 2

Давайте обозначим вершины параллелограмма как A, B, C и D, а середины сторон как M и N (ABCD — параллелограмм, AM = MB, DN = NC).

Так как AM = MB и DN = NC, то AM = MB = DN = NC.

Теперь рассмотрим диагонали параллелограмма. Обозначим их как AC и BD.

Так как AM = MB, то AM является высотой треугольника AMD, а AN является высотой треугольника BNC.

Из этого следует, что площади треугольников AMD и BNC равны:

$S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot CD$ $S_{BNC} = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot CD$

Так как AM = AN и площади треугольников равны, то их высоты равны:

$AM = AN$

Теперь рассмотрим треугольники AMC и BND.

В этих треугольниках у нас есть:

1. Сторона MC, которая равна половине диагонали AC, так как MC является медианой треугольника ABC.
2. Сторона ND, которая равна половине диагонали BD, так как ND является медианой треугольника BCD.
3. Угол AMC и угол BND, которые равны, так как они соответственные углы при равных сторонах.

Теперь у нас есть два треугольника с равными сторонами и равными соответственными углами. Следовательно, эти треугольники подобны.

Из подобия треугольников AMC и BND мы можем заключить, что угол ADC равен углу BCD (по соответственным углам в подобных треугольниках).

Так как противоположные углы параллелограмма равны, то угол BCD также равен углу BAD.

Таким образом, у нас есть две пары углов в параллелограмме, которые равны. По определению ромба, все его углы равны.

Итак, мы доказали, что если вершина параллелограмма равноудалена от середин двух его сторон, то этот параллелограмм является ромбом.