Question

Задані дві вершини трикутникаABC: A(−4, 4), B(4, −12) і точка M(4, 2) перетину його висот. Знайти координати вершини C .

Answer 1

Вектор АМ = (4-(-4); 2-4) = (8; -2).

Уравнение высоты АМ:

х + 4)/8 = (у - 4)/(-2), или в общем виде х + 4у - 12 = 0.

Сторона треугольника АС перпендикулярна этой высоте.

Коэффициенты в уравнении ВС меняются так: -В и А, то есть -4 и 1.

Уравнение АВС: -4х + у + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки В:

-4*(-4) + (-12) + С = 0, отсюда С = 16 + 12 = 28.

Уравнение ВС: -4х + у + 28 = 0 или 4х - у - 28 = 0.

Так как сторона АС перпендикулярна высоте ВМ, у которой координаты точек по оси Ох совпадают, то АС - горизонтальная линия.

А так как она проходит через точку с ординатой у = 4, то это и есть уравнение стороны АС: у = 4.

Подставим у = 4 в уравнение ВС и найдём координату точки пересечения прямых, это точка С.

4х - 4 - 28 = 0, отсюда х = 32/4 = 8.

Ответ: координаты точки С(8; 4).

Answer 2

Для знаходження координат вершини C трикутника ABC, нам потрібно визначити рівняння висоти, яка проходить через точку M(4, 2). Висота перпендикулярна до сторони AB, тобто вектору AB.

1. Спочатку визначимо вектор AB: AB = (xB - xA, yB - yA) = (4 - (-4), (-12) - 4) = (8, -16)

2. Тепер знайдемо вектор висоти, який перпендикулярний до AB. Вектор висоти буде мати компоненти, які обмінюються і мають протилежний знак: Вектор висоти HM = (-16, -8) (або будь-який кратний йому вектор)

3. Далі ми можемо використовувати цей вектор, щоб знайти координати вершини C. Для цього додамо вектор HM до координат точки M(4, 2):

   C(xC, yC) = M(xM, yM) + HM = (4, 2) + (-16, -8) = (4 - 16, 2 - 8) = (-12, -6)

Таким чином, координати вершини C трикутника ABC дорівнюють (-12, -6).