Question

Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему ДОКАЗАТЬ БЕЗ КОСИНУСОВ

Answer 1

Ответ:

ВО ВЛОЖЕНИИ..........

Answer 2

Давайте докажем это утверждение без использования косинусов. Для начала, обозначим остроугольный треугольник как ABC, где AB, BC и CA - его стороны, а h1, h2 и h3 - высоты, проведенные из вершин A, B и C соответственно. Пусть M - это точка пересечения отрезка, соединяющего основания высот A и B, с отрезком, соединяющим основания высот B и C.

Чтобы доказать, что треугольник MBC подобен треугольнику ABC, докажем два ключевых свойства:

1. Угол MBC равен углу A в треугольнике ABC.
2. Угол CMB равен углу CAB.

Сначала рассмотрим первое свойство:

1. Угол MBC равен углу A в треугольнике ABC.

   Для этого рассмотрим треугольники MBC и ABC. Мы знаем, что они оба имеют прямой угол в точке B (так как M - середина отрезка AC и CM, а также BM - это высота треугольника ABC). Теперь давайте рассмотрим угол MBC и угол ABC:

   Угол MBC равен прямому углу в точке B. Угол ABC также равен прямому углу в точке B (поскольку BC - это высота треугольника ABC, и угол в прямоугольном треугольнике равен 90 градусам).

   Таким образом, угол MBC равен углу ABC.

Теперь рассмотрим второе свойство:

2. Угол CMB равен углу CAB.

   Для этого рассмотрим треугольники MBC и CAB. Мы уже доказали, что угол MBC равен углу ABC. Теперь давайте рассмотрим угол CMB и угол CAB:

   Угол CMB равен 90 градусам (так как BC - это высота треугольника ABC). Угол CAB также равен 90 градусам (так как CA - это высота треугольника CAB).

   Таким образом, угол CMB равен углу CAB.

Итак, мы доказали, что угол MBC равен углу ABC и угол CMB равен углу CAB. Это означает, что треугольник MBC подобен треугольнику ABC по двум углам, что является достаточным условием для подобия треугольников. Таким образом, отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, действительно отсекает подобный ему треугольник MBC.