Question

Докажите , что отрезок , соединяющий основания высот остроугольного треугольника , отсекает от этого треугольника треугольник , подобный даннному

Answer 1

Решение этой весёленькой задачки вложено

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством подобных треугольников.

Пусть у нас есть остроугольный треугольник ABC, в котором H1 и H2 - основания высот, проведенных из вершин A и B соответственно.

Докажем, что треугольник AHB подобен треугольнику ABC.

1. По определению высоты, отрезок AH1 перпендикулярен стороне BC, а отрезок BH2 перпендикулярен стороне AC. 2. Так как угол BAC острый, то треугольник ABC остроугольный. Значит, стороны AB, BC и AC все положительные. 3. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH1 и ABH2. У них общий катет AB и перпендикулярные катеты AH1 и BH2. Значит, эти треугольники подобны по одной из сторон и углов. 4. Из подобия треугольников ABH1 и ABH2 следует, что отношение длин сторон AH1 и BH2 равно отношению длин гипотенуз AB. 5. Так как треугольник ABC остроугольный, то гипотенуза AB является наибольшей стороной. 6. Из пункта 4 следует, что отрезок AH1 больше отрезка BH2. То есть, отрезок, соединяющий основания высот, отсекает от треугольника AHB треугольник, подобный треугольнику ABC.

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от этого треугольника треугольник, подобный данному.