Question

Докажите, что значиние выражения 4⁶-7⁹ делится нацело на 9​

Answer 1

Ответ:

4×4×4×4×4×4=4096

7×7×7×7×7×7×7×7×7=40 353 607

4096-40353607=−40 349 511

−40 349 511:9=−4 483 279

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. Мы хотим доказать, что значение выражения 4⁶ - 7⁹ делится нацело на 9. Для этого нам понадобится использовать малую теорему Ферма.

Малая теорема Ферма гласит, что если p - простое число, а a - целое число, не делящееся на p, то:

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

где "≡" означает "сравнимо по модулю", то есть a^(p-1) и 1 имеют одинаковый остаток при делении на p.

В данном случае, мы хотим доказать, что 4⁶ - 7⁹ делится нацело на 9. Применим малую теорему Ферма к обоим частям выражения:

4^(6) - 7^(9) ≡ 1 (mod 9)

Теперь давайте вычислим значения 4⁶ и 7⁹ по модулю 9:

4⁶ = (4²)³ = 16³ ≡ 7³ (mod 9) = 343 ≡ 7 (mod 9) 7⁹ = (7²)⁴ * 7 = 49⁴ * 7 ≡ 7⁴ * 7 (mod 9)

Теперь мы можем выразить 7⁴ как (7²)²:

7⁴ = (7²)² = 49² ≡ 4² (mod 9) = 16 ≡ 7 (mod 9)

Теперь мы можем заменить 7⁴ в исходном выражении:

7⁹ ≡ 7⁴ * 7 ≡ 7 * 7 ≡ 49 ≡ 4 (mod 9)

Итак, мы получили:

4⁶ - 7⁹ ≡ 7 - 4 ≡ 3 (mod 9)

Так как остаток этого выражения при делении на 9 равен 3, мы видим, что 4⁶ - 7⁹ не делится нацело на 9.