Question

Відрізок DC - перпендикуляр до площини трикутника АВС. Знайдіть площу трикутника АDB, якщо <АСВ=90°, АС=5см, АВ=13см, а кут між площинами АВС і АВD дорівнює 45°.

Answer 1

Ответ:

Площадь треугольника ADB равна 30√2 см².

Объяснение:

Так как ∠ АСВ =90 °, то Δ АВС - прямоугольный.  АС= 5 см, АВ= 13 см. Найдем катет ВС по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

$BC^{2} =AB^{2} -AC^{2} ;\\BC= \sqrt{AB^{2} -AC^{2}} ;\\BC= \sqrt{13^{2}-5^{2} } =\sqrt{169-25} =\sqrt{144} =12$

BC= 12 см.

Найдем угол между плоскостями треугольников Δ АВС и ΔABD

Проведем высоту СМ  Δ АВС , проведенную к гипотенузе .

Значит, СМ ⊥ АВ.

Тогда по теореме о трех перпендикулярах DM⊥ AB

∠ DMC=45° - это угол между плоскостями треугольников.

Найдем высоту прямоугольного ΔАВС . Для этого надо произведение катетов разделить на гипотенузу .

$CM=\dfrac{AC\cdot BC}{AB } ;\\\\CM=\dfrac{5\cdot 12}{13 }=\dfrac{60}{13}$

Рассмотрим Δ DCM - прямоугольный ( DC - перпендикуляр к плоскости Δ АВС, а значит к любой прямой, лежащей в этой плоскости).

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катете к гипотенузе.

$cos 45^{0} =\dfrac{CM}{DM } ;\\\\\dfrac{\sqrt{2} }{2 } =\dfrac{CM}{DM } ;\\\\DM= \dfrac{60}{13} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{2} } =\dfrac{60\sqrt{2} }{13}$

Найдем площадь Δ ADB следующим образом

$S= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot DM;\\\\\\S= \dfrac{1}{2} \cdot 13 \cdot \dfrac{60\sqrt{2} }{13} =30\sqrt{2}$

Площадь треугольника равна 30√2 см².

Answer 2

Давайте розглянемо задачу. Вам дано трикутник ABC, де AC = 5 см і AB = 13 см, причому кут ACB = 90 градусів. Також, вам дано відрізок DC, який перпендикулярний до площини трикутника ABC і утворює кут 45 градусів з площиною трикутника ABC.

Позначимо точку перетину відрізка DC з прямою AB як точку D.

Для знаходження площі трикутника ADB, нам потрібно знайти його висоту та основу. Основа - це відрізок AB, а висоту ми можемо знайти, використовуючи властивість перпендикуляра до площини трикутника.

Давайте спочатку знайдемо висоту трикутника ADB.

Оскільки відрізок DC перпендикулярний до площини ABC, то він також перпендикулярний до всіх прямих, які лежать у цій площині, включаючи пряму AB. Тому кут ADC дорівнює 90 градусів.

Тепер ми маємо трикутник ADC, в якому відомі дві сторони: AC = 5 см і CD (висота) нам варто знайти. Ми також знаємо кут ADC, який дорівнює 45 градусів.

Ми можемо використовувати тригонометричну функцію синуса для знаходження висоти:

sin(45°) = CD / AC

CD = AC * sin(45°) CD = 5 см * √2 / 2 CD = (5√2) / 2 см

Тепер ми знайшли висоту трикутника ADB. Тепер ми можемо знайти його площу, використовуючи формулу для площі трикутника:

Площа = (основа * висота) / 2 Площа = (AB * CD) / 2 Площа = (13 см * (5√2 / 2) см) / 2 Площа = (65√2 / 2) см²

Отже, площа трикутника ADB дорівнює (65√2 / 2) квадратних сантиметрів.