Question

В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Найдите отношение объемов призмы и цилиндра.

Answer 1

Ответ: 3√3/(4π)

Объяснение:

Поскольку правильная треугольная призма вписана в цилиндр, то она имеет ту же самую высоту что и цилиндр, иначе говоря, отношение их объемов равно отношению площадей их оснований.

Поскольку равносторонний треугольник основания призмы вписан в круглое основание цилиндра, то сторона треугольника равна:

√3r

Площадь треугольника:

S1 = √3(√3r)^2/4 = 3√3r^2/4

Площадь круга:

S2 = πr^2

S1/S2 = 3√3/(4π)

Answer 2

Чтобы найти отношение объемов правильной треугольной призмы и вписанного в цилиндр, давайте рассмотрим следующую ситуацию:

1. Пусть высота цилиндра равна $H$.
2. Пусть сторона основания треугольной призмы равна $a$.

Треугольная призма, вписанная в цилиндр, будет иметь основание, совпадающее с основанием цилиндра (кругом). Поэтому площадь основания призмы будет равна площади основания цилиндра.

Площадь основания цилиндра $S_{\text{цилиндра}}$ можно выразить формулой для площади круга:

$S_{\text{цилиндра}} = \pi r^2$

где $r$ - радиус цилиндра.

Теперь нам нужно найти объем призмы. Объем призмы можно выразить следующей формулой:

$V_{\text{призмы}} = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \cdot H$

В нашем случае $S_{\text{основания}} = \pi r^2$ (площадь круга), а $H$ - высота цилиндра.

Теперь мы можем выразить отношение объемов призмы и цилиндра:

$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot H}{\pi r^2}$

Заметим, что $\pi r^2$ в числителе и знаменателе сокращается:

$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot H}{\pi r^2} = \frac{\frac{1}{3} \cdot H}{1} = \frac{H}{3}$

Итак, отношение объемов призмы и цилиндра равно $\frac{H}{3}$, где $H$ - высота цилиндра.