Question

В1. На сторонах AB и ВС треугольника АВС выбраны точки Р и Q. Докажите, что периметр треугольника АВС больше пери- метра четырёхугольника APQС. Помогите пожалуйста :)

Answer 1

PQ
Периметр треугольника авс равен

Ар +рв +вq+bq+qc +ac

Периметр четырёхугольника арqc


Ар +pq +qc +ac

Вычтем из периметра треугольника периметр четырёхугольника:


рв +вq-pq>0

Значит периметр треугольника больше периметра четырёхугольника

Answer 2

Чтобы доказать, что периметр треугольника ABC больше периметра четырёхугольника APQC, давайте разберёмся с данным утверждением.

Обозначения:

• Пусть a, b и c будут длинами сторон треугольника ABC, где a — сторона BC, b — сторона AC и c — сторона AB.
• Пусть p обозначает полупериметр треугольника ABC, т.е. p = (a + b + c) / 2.
• Пусть x и y будут длинами отрезков PQ и QC соответственно.

Теперь выразим периметр треугольника ABC и четырёхугольника APQC через данные обозначения:

Периметр треугольника ABC: P_ABC = a + b + c

Периметр четырёхугольника APQC: P_APQC = a + b + x + y

Так как x и y являются длинами отрезков PQ и QC, соответственно, то x + y будет длиной отрезка PQC.

Известно, что длина любого отрезка меньше суммы длин любых двух его сторон. Таким образом, имеем: x + y < c (так как PQ меньше AB и QC меньше AC)

Теперь докажем неравенство: P_APQC = a + b + x + y < a + b + c = P_ABC

Таким образом, периметр треугольника ABC больше периметра четырёхугольника APQC.