Question

Якою має бути довжина хорди кола, радіус якого дорівнює R, щоб довжини дуг, на які кінці цієі хорди поділяють коло, відносилися як 2 : 1

Answer 1

Хорда АВ, дуга АВ/дуга ВА=1/2=1х/2х, дугаАВ+дугаВА=360=х+2х=3х, х=120, проводимо радіуси ОА та ОВ трикутник АОВ рівнобедрений, кут АОВ-центральний=дузіАВ=120, проводимо висоту ОН на АВ=медіані=бісектрисі, АН=НВ, кут АОН=1/2кутАОВ=120/2=60, кут ОАН=90-60=30, ОА=R, ОН=1/2ОА=R/2, АН=корінь(ОА в квадраті-ОН в квадраті)=корень(R в квадраті-R в квадраті/4)=R*корінь3/2, АВ=АН*2=2*R*корінь3/2=R*корінь3 - хорда

Answer 2

Щоб знайти довжину хорди кола, радіус якого дорівнює R, щоб довжини дуг, на які кінці цієї хорди поділяють коло, відносилися як 2 : 1, ми можемо скористатися відомою формулою для обчислення довжини хорди:

Довжина хорди кола = 2 * R * sin(θ/2)

де R - радіус кола, а θ - центральний кут, відповідний цій хорді.

Щоб відношення довжин дуг було 2 : 1, ми можемо вибрати два центральних кути, такі, що їх сума буде 360 градусів (360°), і відповідні довжини хорд будуть у відношенні 2 : 1.

Нехай θ1 буде центральним кутом, відповідним першій хорді, і θ2 буде центральним кутом, відповідним другій хорді. Тоді ми маємо такі рівняння:

θ1 + θ2 = 360° (1)

Довжина першої хорди = 2 * R * sin(θ1/2) (2)

Довжина другої хорди = 2 * R * sin(θ2/2) (3)

Щоб відповідні довжини дуг були відносилися як 2 : 1, ми маємо таке рівняння:

Довжина першої дуги : Довжина другої дуги = 2 : 1

Знаючи, що Довжина дуги = R * θ (довжина дуги дорівнює добутку радіуса на центральний кут, виміряний в радіанах), ми можемо записати рівняння:

(R * θ1) : (R * θ2) = 2 : 1

θ1 : θ2 = 2 : 1

Звідси ми отримуємо, що

θ1 = (2/3) * θ2

Підставляючи це у рівняння (1), ми отримуємо:

(2/3) * θ2 + θ2 = 360°

(5/3) * θ2 = 360°

θ2 = (3/5) * 360°

θ2 = 216°

Тепер, підставляючи значення θ2 у рівняння (2) та (3), ми можемо знайти довжини першої та другої хорд:

Довжина першої хорди = 2 * R * sin(θ1/2) = 2 * R * sin((2/3 * θ2)/2) = 2 * R * sin(108°)

Довжина другої хорди = 2 * R * sin(θ2/2) = 2 * R * sin(216°/2) = 2 * R * sin(108°)

Таким чином, довжина хорди кола, радіус якого дорівнює R, щоб довжини дуг, на які кінці цієї хорди поділяють коло, відносилися як 2 : 1, буде 2 * R * sin(108°).