Question

(( Рисунок обязателен )) 40 баллов В произвольном четырехугольнике, диагонали которого перпендикулярны, последовательно соединили середины сторон.а) докажите, что полученная фигура будет являться прямоугольником б) найдите периметр и площадь полученного прямоугольника, если диагонали исходного четырехугольника равны 5 см и 10 см

Answer 1

Відповідь:

Четырехугольник А1В1С1Д1 - прямоугольник.

П = 15 см.

S = 12,5 см^2.

Пояснення:

В произвольном четырехугольнике АВСД диагонали АС и ВД пересекаются под прямыми углами. АС = 10 см., а ВД = 5 см. Соединим середины сторон четырехугольника АВСД и получим четырехугольник А1В1С1Д1. Докажем, что четырехугольник А1В1С1Д1 - является прямоугольником.

Рассмотрим треугольник АВС. Отрезок А1В1 - является средней линией этого треугольника, так как расстояние от диагонали АС до точек А1 и С1 равно половине расстояния от диагонали АС до точки В. Так как А1В1 - средняя линия треугольника АВС, то А1В1 параллельна диагонали АС и А1В1 = 1/2 × АС = 1/2 × 10 = 5 см.

Аналогично доказывается, что С1Д1 -средняя линия треугольника АСД, что А1Д1 - средняя линия треугольника АВД, что В1С1 - средняя линия треугольника ВСД.

В1С1 = 1/2 × ВД = 1/2 × 5 = 2,5 см.

Так как А1В1 и С1Д1 параллельны диагонали АС, то они параллельны и между собой.

Так как А1Д1 и В1С1 параллельны диагонали ВД, то они параллельны и между собой.

Так как диагонали АС и ВД перпендикулярны, то порарно перпендикулярны между собой и отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1А1, значит четырехугольник А1В1С1Д1 - является прямоугольником.

Выше мы доказали, что А1В1 = С1Д1 = 5см., а В1С1 = Д1А1 = 2,5 см.

Значит периметр четырехугольника А1В1С1Д1

П = 5 + 2,5 + 5 + 2,5 = 15 см.

Площадь четырехугольника А1В1С1Д1

S = 5 × 2,5 = 12,5 см^2.

Answer 2

Для доказательства того, что полученная фигура будет прямоугольником, давайте рассмотрим следующий четырёхугольник, обозначим его как ABCD, где AC и BD - диагонали. Мы знаем, что диагонали перпендикулярны, следовательно, угол BAD равен 90 градусов.

Теперь давайте соединим середины соседних сторон. Обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA как M, N, O и P соответственно.

Поскольку M и N - середины сторон AB и BC, то по свойству серединных линий треугольника, MN будет параллельной и равной половине стороны AC. Аналогично, MO и NO параллельны и равны половине стороны BD. Таким образом, у нас есть следующая картинка:

cssCopy code
    A ----------- B
    |           |
    |     M     |
    |     *     |
    |           |
    D ----------- C

Здесь звёздочка (*) обозначает середину диагонали AC. Теперь, так как угол BAD прямой, у нас есть два параллельных отрезка (MN и MO), пересекающиеся с третьим параллельным отрезком (BD). По свойству параллельных линий, получается, что MN и MO также параллельны BD.

Аналогичными рассуждениями можно показать, что NO и NP также параллельны BD. Таким образом, полученная фигура MNOB - это параллелограмм (все его углы равны 90 градусов), и следовательно, это прямоугольник.

Теперь мы знаем, что полученная фигура MNOB - это прямоугольник. Давайте перейдем ко второй части задачи, чтобы найти периметр и площадь этого прямоугольника.

Для нахождения периметра и площади нам необходимо знать длины сторон MNOB. Давайте рассмотрим треугольник ABC:

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AC и катетами AD и CD (половинами диагоналей), имеем:

AC^2 = AD^2 + CD^2 AC^2 = (5 см)^2 + (10 см)^2 AC^2 = 25 см^2 + 100 см^2 AC^2 = 125 см^2 AC = √125 см AC = 5√5 см

Теперь у нас есть длина гипотенузы AC, которая равна 5√5 см. Поскольку MNOB - это прямоугольник, длины его сторон будут равны половинам длин соответствующих диагоналей AC и BD:

Длина стороны MNOB (MN) = 0.5 * AC = 0.5 * 5√5 см = 2.5√5 см Длина стороны MNOB (MO) = 0.5 * BD = 0.5 * 10 см = 5 см

Теперь у нас есть длины сторон MNOB: MN = 2.5√5 см и MO = 5 см.

Периметр прямоугольника MNOB равен сумме его четырёх сторон:

Периметр = 2 * (MN + MO) = 2 * (2.5√5 см + 5 см) = 2 * (2.5√5 см + 5 см) = 2 * 5 см * (1 + √5) ≈ 20.71 см (округлено до двух десятичных знаков).

Теперь давайте найдем площадь прямоугольника MNOB, которая равна произведению его двух сторон:

Площадь = MN * MO = (2.5√5 см) * (5 см) = 12.5√5 см^2 ≈ 27.39 см^2 (округлено до двух десятичных знаков).

Итак, периметр полученного прямоугольника составляет примерно 20.71 см, а его площадь приближенно равна 27.39 см^2.