Question

Задание 1. В произвольном четырехугольнике, диагонали которого перпендикулярны, последовательно соединили середины сторон. а) докажите, что полученная фигура будет являться прямоугольником. б) найдите периметр и площадь полученного прямоугольника, если диагонали исходного четырехугольника равны 5 см и 10 см. Задание 2. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 5:1, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88. Задание 3. Диагонали ромба равны 65 см и 156 см. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. Задание 4. В равнобедренной трапеции диагональ является биссектрисой острого угла. Определите углы трапеции, если эта диагональ равна большему основанию.

Answer 1

вот твое решение:смотри

Answer 2

Задание 1: а) Докажем, что полученная фигура будет прямоугольником.

Пусть ABCD - исходный четырехугольник, AC и BD - его диагонали, E, F, G, H - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

Из условия задачи следует, что диагонали перпендикулярны, то есть AC ⊥ BD. Также из свойств параллелограмма следует, что диагонали делятся пополам. Это означает, что AE = EC и BE = ED.

Рассмотрим треугольник AEC. Так как AE = EC, то он равнобедренный. Также, из условия следует, что FG || AB и FG = 1/2 * AB (так как F - середина AB). Значит, AG = GF и тоже можно сказать, что AG || EF.

Теперь посмотрим на треугольник GFE. Из предыдущих рассуждений следует, что он равнобедренный, а значит, угол GEF = углу GFE (потому что GF = GE).

Теперь обратим внимание на треугольник FGD. Из того, что DG = GF (по построению) и угол GEF = углу GFE, следует, что треугольник FGD - равнобедренный.

Таким образом, у нас есть равнобедренные треугольники: AEC, GFE и FGD. Так как у них углы равны, то и сами треугольники равны. Это означает, что DF = DG и AD || FG.

Рассмотрим треугольник BGD. Так как BG = GD (по построению), а DF = DG (из предыдущих рассуждений), то по стороне они также равны. Таким образом, треугольник BGD равнобедренный.

Из равнобедренности треугольника BGD следует, что углы BGD и GBD равны между собой. Но поскольку AD || FG, то угол GBD является внутренним углом между FG и BD. Это значит, что угол GBD является прямым углом.

Таким образом, фигура FGDB - прямоугольник.

б) Найдем периметр и площадь полученного прямоугольника.

Для прямоугольника FGDB известно, что его диагонали равны диагоналям исходного четырехугольника AC и BD.

Из условия задачи, AC = 5 см и BD = 10 см.

1. Периметр прямоугольника FGDB:

Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон. Так как FGDB - прямоугольник, то FG = BD = 10 см, а GD = DF = AC = 5 см.

Периметр P = FG + GD + DF + BD = 10 см + 5 см + 5 см + 10 см = 30 см.

2. Площадь прямоугольника FGDB:

Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. Длина прямоугольника - FG = 10 см, а ширина - GD = 5 см.

Площадь S = FG * GD = 10 см * 5 см = 50 см².

Ответ: периметр прямоугольника FGDB равен 30 см, а площадь равна 50 см².

Задание 2: Пусть ABCD - параллелограмм, AB и CD - его стороны, AD и BC - противоположные стороны, P - периметр параллелограмма.

Из условия задачи известно, что биссектриса угла ABD делит сторону BC в отношении 5:1. Пусть точка K - точка пересечения биссектрисы угла ABD и стороны BC. Тогда BK = 5x, а KC = x (где x - какой-то положительный коэффициент).

1. Найдем длину стороны BC.

Согласно условию, P = 88:

P = 2*(AB + BC) = 88.

AB + BC = 44.

AB = KC = x (так как BK = 5x).

Из этого следует, что x + BC = 44.

Теперь найдем значение x:

x = 44 - BC.

2. Найдем длину стороны AD.

Так как ABCD - параллелограмм, то AD = BC.

3. Найдем длину стороны AB.

AB = KC = x = 44 - BC.

4. Найдем длину стороны CD.

CD = BK = 5x = 5*(44 - BC) = 220 - 5*BC.

Теперь посчитаем периметр:

P = AD + AB + BC + CD = BC + (44 - BC) + BC + (220 - 5BC) = 264 - 3BC.

Из условия задачи известно, что P = 88:

264 - 3*BC = 88.

3*BC = 264 - 88 = 176.

BC = 176 / 3.

Теперь найдем остальные стороны:

AB = 44 - BC = 44 - 176 / 3 = (